точки М. Этой абсциссой положение точки М не устанавливается, так как все точки перпендикуляра MN, очевидно, имеют ту же абсциссу. Для опреY деления положения точки нужна еще бдна координата, за которую проще всего взять расстояние MN М точки М от прямой х
ОХ. Число 2/, выражающее это расстоя•У ние, также необхо/ димо снабдить зна_____% ком + или —, в завиО N симости от ТОГО, по Рис. 2. какую сторону прямой ОХ лежит точка М (при нашем чертеже, напр., у можно считать положительным, когда точка М лежит над прямой ОХ, и отрицательным, когда она лежит под нею). Число у, взятое с надлежащим знаком, и представляет собою вторую координату точки на плоскости; ее обыкновенно называют ординатой точки М. Абсциссой и ординатой положение точки, т. о., вполне определяется: эти числа назыв . Декартовыми координатами точки. Если из точки М упустить также перпендикуляр ML на прямую OF, то ординату у можно рассматривать также как длину отрезка OL, взятую с надлежащим знаком. Абсцисса и ордината представляют собою, т. о., взятые с надлежащими знаками расстояния точки от неподвижных прямых ОХ и OF. Сообразно этому, прямые ОХ и OY называются ортогональными (взаимно перпендикулярными) осями координат: ОХ — о сью абсцисс, OF — осью ординат, точка О — н ачалом к о о рд инат. Декарту принадлежит самый замысел этой координации; терминология и нек-рые детали в определениях, ныне общепринятые, установились позже (Лейбниц, Эйлер, Лежандр).
Для определения положения точки М, как угодно расположенной в пространстве, выберем определенную постоянную плоскость, при помощи к-рой мы будем производить координацию, и из точки М опустим на эту плоскость перпендикуляр MN. Ясно, что положение точки М определится, если будет известно положение точки N на нашей плоскости и расстояние MN. На этой плоскости (рис. 3) выбираем оси координат ОХ и OF и по отношению к ним определяем положение точки N абсциссой х и ординатой у; расстояние же MN, взятое с надлежащим знаком, в зависимости от того, лежит ли точка М выше или ниже (по ту или другую сторону) плоскости XOY, обозначим через z.
Три числа ж, у, z определяют положение точки; это суть Декартовы координаты точки М в пространстве. Если восставим также перпендикуляр OZ к плоскости из точки О, то расстояние MN будет равно расстоянию OL\ координаты х, у, z выражают, т. о., длины отрезков OP, OQ, OL на осях координат OX, OY, OZ, взятые с надлежащими знаками; они могут быть также рассматриваемы как рас 612
стояния точки М от трех взаимно перпендикулярных плоскостей координат YOZ, ZOX, XOY, определяемых попарно осями координат.
Координаты точки в пространстве могут быть также устанавливаемы многими иными способами; но всегда в основании системы лежат нек-рые определенные линии или поверхности, при помощи которых и п о
отношению к к-p ы м определяется положение любой точки. В конкретных применениях эти координатные линии неизбежно должны быть связаны с нек-рым определенным материальным телом. Эта простая геометрич. идея составляет математическую точку отправления нового физического учения, известного под названием принципа относительности.
Представим себе теперь плоскость с установленными на ней осями координат ОХ, OY и нек-рую линию, лежащую в этой плоскости (рис. 4). В установлении того,
каким образом геометрич. свойства линии отражаются на координатах точек, этой линии принадлежащих, и заключается вторая основная идея Декарта. Чтобы выяснить эту идею, разыщем на данной линии точку, имеющую заданную абсциссу х=а.
Для этого отложим на оси ОХ в надлежащую сторону (в зависимости от знака числа а) отрезок ON, длина к-рого выражается абсолютной величиной числа а; конечная точка N этого отрезка имеет абсциссу а.
Из точки N восставим к оси абсцисс перпендикуляр NM; точка М, в к-рой этот перпендикуляр встретит данную линию, и есть искомая точка, т. к. она имеет заданную абс-
