Аналитическая геометрия придает ур-иям со многими неизвестными геометрический смысл. Так, ур-ие с 2-мя неизвестными изображается кривой на плоскости, с 3-мя — поверхностью. Степень ур-ия называется «порядком» кривой или поверхности. По аналогии можно придать условный геометрический смысл и ур-иям с п переменными — поверхности в т. н.
«пространстве п измерений». От этой связи двух отраслей науки выигрывают и А. и геометрия.
Часто приходится преобразовывать ур-ие, подставляя вместо неизвестных какие-либо (чаще всего рациональные) функции других неизвестных. Напр., 2 неизвестных х и у могут заменяться линейными Функциями: х=*ах’ 4 — by’, y=cx' + dy’ (линейное преобразование; то же при многих неизвестных). Вслед за линейными применяются более сложные проективные преобразования вида ах' -4 — by' 4 — с ~ dx' + еу' + f ' Наконец, еще сложнее бирациональные преобразования, при к-рых новые неизвестные выражаются через старые и, наоборот, старые через новые рациональными функциями высших степеней. Новое ур-ие имеет, конечно, совершенно иные коэффициенты, чем старое, но нек-рые функции от этих коэффициентов, оказывается, сохраняют свое значение неизменным. Эти функции называются инвариантами тех преобразований, к-рые рассматриваются (см. Инварианты, там же о геометрическом смысле преобразований). Изучение инвариантов приводит к глубоким свойствам алгебраических ур-ий.
При рассмотрении этих вопросов можно отвлечься от понятия ур-ия и рассматривать просто многочлены.
Входящие в них «неизвестные» тогда будут просто н евависимыми переменными. Обычно теория приводится к рассмотрению многочленов однородных, т. — е. таких, в к-рых степени всех слагаемых одночленов одинаковы. Однородные многочлены иначе называются формами, напр., ах2 + Ьху + 4 — су2 есть форма второй степени с двумя переменными («бинарная квадратичная форма»). Теория инвариантов и форм расцвела в 19 в. (Клебш, Кэли, Клейн, Гильберт).
В ряде вопросов А. переходит в другие отрасли математики. Мы указали уже па связь А. с геометрией, выражающуюся в теории «алгебраических» кривых и поверхностей. Корни зависят, конечно, от коэффициентов ур-ия, являются непрерывными функциями этих коэффициентов. Такие функции называются алгебраическими. В общем случае они, нак мы видели, не выражаются простейшими 6 алгебраическими действиями. Если все коэффициенты pi в свою очередь — рациональные функции от независимой переменной z, то х будет алгебраической функцией одной переменной z. Мы приходим к новой отрасли-теории алгебраических функций, в к-рой особенно важны интегралы от этих функций (абелевы интегралы) и их обращени я — абелевы функции и эллиптические функции (см.), принадлежащие к важнейшим функциям уже не алгебраическим, а трансцендентным (см.).
Другая связь получится, если рассматривать корни алгебраического ур-ия, как числа. В случае ур-ия х’4—1=0, корни к-рого =ьг, мы приходим к области комплексных чисел. Аналогично можно «расширить» область рациональных чисел (или только целых чисел) «присоединением» корня любого ур-ия, напр., а4—3 = 0 (корни_=*= j/з) и рассматривать «область» чисел вида а]/з 4 — Ь, где а и b рациональные (или только целые) числа. Устанавливается понятие «целого» числа такой области, понятие о делимости, о «простых» числах и т. д. Получается важнейшая отрасль теории чисел (см.) — теория «алгебраических чисел».
Наконец, кроме рассмотренной нами А., основанной на известных из элементарной математики 6 действиях, можно построить другие «алгебры», в к-рых действия будут определены иначе, напр., а. Ъ не будет равно Ь. а, а скажем а. Ь = — Ь. а и т. п. Эти «алгебры» изучены уже в 19 в. Они не всегда являются только игрой ума, а часто приводят к практическим теориям, дающим правила счета и вычислений для очень трудно доступных математических образов, на которые нас, тем не менее, наталкивает практика. Сюда относится алгебра «кватернионов» (см.), алгебра исчисления векторов, алгебра в конечном поле (см. Теория чисел) и др.
Лит. по высшей А.: Краткое руководство М л о дзеевского, К., Основы высшей алгебры, М., 1923 и позже. — Лучший из пространных курсов: Граве, Д., Элементы высшей алгебры, Киев, 1914. — Из иностранных: Н. Weber, Lehrbuch der Algebra, 1898—1908, 3 тома (к А. относятся преимущественно два первых); его же, Kleines Lehrbuch der Algebra, Leipzig, 1912, в одном томе. — Устарелый,но очень поучительный курс J. — A. Sегге t, Cours d’Algdbre sup6ricure, Paris (много изданий, 2 т.), есть рус. пер. первой части. — Современный краткий курс Вбсhег, Introduction to higher Algebra, New-York, 1908 (нем. пер.: Вбcheг, Einfuhrung in die hdhere Algebra, Leipzig, 2 — ое изд., 1925).
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ, плоская
кривая, к-рая в декартовых координатах выражается алгебраическим уравнением так, что одна из координат представляет собою алгебраическую функцию (см.) другой. Прямые линии, конические сечения суть простейшие А. к. (см. Аналитическая геометрия). Теория А. к. занимается определением формы А. к. по ее уравнению. Наиболее плодотворные исследования в этой области принадлежат Пл юкеру (Plticker).
Лит.: Н. Hilton, Plane algebraic curves, Oxf., 1920, — сравнительно доступное, но требующее все же серьезной подготовки сочинение по теории алгебраических кривых.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА, см. Алгебра.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Простей шей А-ой функцией одной или нескольких переменных х, у, z... называется одночлен вида Ax™ynz?... Сумма таких одночленных А. ф. образует многочленную А. ф.
Одночленные и многочленные А. ф. носят общее название целых А. ф. Приравнивая целую А. ф. нескольких переменных нулю, получаем алгебраическое уравнение (см. Алгебра). Решая алгебраическое уравнение относительно одной из неизвестных, получаем А. ф. остальных переменных наиболее общего типа.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, см.
АЛ ГЕЗИ МЕТР (от греч. algos — боль и metron — мера), в медицине прибор для количественной оценки болевой чувствительности. Мерилом чувствительности служит груз, давящий на металлическое острие, упирающееся в кожу, или же сила сдавливания складки кожи щипцами. В нек-рых А. чувствительность кожи определяется при помощи электрического тока, раздражающего кожу и причиняющего боль.
АЛ ГОЛ АГНИЯ (от греч. algos — боль, lagnos — страсть), патологическое явление, заключающееся в сочетании полового возбуждения и оргазма с болевыми ощущениями, возбуждаемыми у себя самого или у объекта.
В первом случае говорят о мазохизме (претерпевание боли и страданий), во втором — о садизме (причинение боли). В обоих случаях наличность боли является необходимым условием для полного удовлетворения. См. также Мазохизм, Садизм, Половые аномалии.
АЛ ГОЛЬ, звезда, см. Алъголь.
АЛГОНКИНЫ, общее название некогда многочисленного индейского племени (в 17 в. — до 250.000 ч.), населявшего большую часть Соед. Штатов и Канады. К исчезнувшей ныне части А. принадлежали делавары, жившие в низовьях р. Гудзона, пассамакоди и могикане — в Н. Англии, макмаки — в Н. Шотландии, шаунисы — в Огайо и Тенесси, чиппевеи — на Верхнем Озере и пр. Раньше А. занимались земледелием (маис и дикий рис), охотой и рыбной ловлей. А. жили в хижинах и шалашах.
Общественное устройство их было основано на родовых началах. По религии А. были
