(см. Арабская наука). В особенности много арабы занимались как раз А. Самое слово А — арабское, это — начало названия сочинения ученого 9 в. Мухаммеда Алхваризми (см.).
От арабов А. в 12 в. перешла к итальянцам, где ее вначале излагали также чисто словесно. Леонардо Пизанский (13 в.), по прозвищу Фибоначчи, — наиболее выдающийся представитель этой эпохи.
История науки еще недостаточно разработана, чтобы определенно решить вопрос, какими причинами обусловлены указанные колебания в развитии А. и чем вызвано наступление торжества символической А. в 15 в. Можно лишь высказать предположение, что чисто словесное изложение преобладало в те эпохи, когда А. представляла предмет умственного соревнования в пределах тонкого слоя образованных людей (напр., Леонардо Пизанский при дворе императора Фридриха II). Наоборот, потребность в удобной символике, облегчающей и ускоряющей вычисления в несколько раз, возникает неизбежно, когда А. становится орудием повседневной практики. Крайне характерно в этом смысле, что сам Леонардо, происходивший из купцов, пользуется нек-рой символикой в арифметике, к-рая в его время уже широко применялась в развитой торговле Италии. Постепенно алгебраические методы также проникают в практику, в первое время ожесточенно конкурируя с арифметическими. Через 15 и 16 вв,. проходит соревнование абацистов (от названия счетной доски — абак, см.) и к осей стов (от cosa, т. — е. вещь, как называли неизвестную в уравнении). Растет число учебников, популяризующих А. Приспособляясь к практике, итальянские ученые вновь перешли к удобным сокращениям, напр., вместо слов плюс и минус стали употреблять латинские буквы ритс особой черточкой сверху. Наконец, в конце 15 в. в математических сочинениях появляются наши теперешние знаки 4 — и —, при чем есть указания, что эти знаки задолго до этого употреблялись в торговой практике для обозначения избытка и недостатка в весе.
Быстро следует введение и всеобщее признание остальных знаков (степени, корня, скобок и т. д.). К середине 17 в. (Декарт) готов аппарат символов современной А.
К тому же времени завершилось развитие и третьей черты современной А. — употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этой реформы, окончательно закрепленной французским математиком Виета (конец 16 в.), в А. и арифметике как бы нет общих правил и доказательств; рассматриваются исключительно численные примеры. Нельзя было выразить никаких общих суждений. Поэтому даже элементарные учебники этого времени очень трудны, давая десятки частных правил вместо одного общего. Виета первый писал свои задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными А, Е, I..., а известное — согласными В, С, D...
Эти буквы он соединяет введенными уже в то время знаками математических опера 140
ций. Т. о., впервые возникают буквенные формулы, столь характерные для современной А. Начиная с Декарта (17 в.), для неизвестных употребляют преимущественно последние буквы алфавита (х, у, z).
Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими какие угодно конкретные числа, есть момент решающей важности. Только с этого времени математика приобрела то орудие — язык формул, — к-рое позволило ей вслед затем почти сразу, одним скачком, взяться за труднейшие вопросы естествознания. Блестящее развитие высшей математики, начиная с 17 в., создание анализа бесконечно малых, математическое выражение законов механики и физики и т. д. были бы немыслимы без этого орудия. Обладание способом выражения в виде легко обозримых, охватывающих сразу множество случаев формул, составляет до сих пор важнейшее преимущество математики, которой другие современные науки, напр., химия, стараются подражать, хотя бы частично.
Содержание А. охватывало во времена Диофанта уравнения 1 — ой и 2 — ой степени.
К уравнениям 2 — ой степени (т. н. квадратным) греческие математики пришли, повидимому, геометрическим путем, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно возникают при определении площадей и построении окружности по различным заданиям. Однако, в одном очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не знали отрицательных чисел.
По этой причине далее уравнение 1 — ой степени, с точки зрения древних, не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2 — ой степени приходилось различать много частных случаев, смотря по знакам коэффициентов. Решающий шаг — признание отрицательных чисел — был сделан индусами (10 в.), но не был воспроизведен арабами.
Постепенно с отрицательными числами свыкались, чему особенно способствовали коммерческие вычисления, в к-рых отрицательные числа имеют наглядный смысл убытка, расхода, недостатка и т. д. Все же окончательное принятие отрицательных чисел произошло только в 17 в., после того как Декарт воспользовался их наглядным геометрическим представлением для построения аналитической геометрии (см.).
Возникновение аналитической геометрии было торжеством А. Если раньше, у греков, чисто алгебраические задачи облекались в геометрическую форму, то теперь, наоборот, алгебраические средства выражения оказались уже настолько удобными и наглядными, что геометрические задачи переводились на язык алгебраических формул.
Подробнее о постепенном расширении области чисел, употребляемых в математике, о введении отрицательных, иррациональных, мнимых чисел сказано в ст. Арифметика, Число, Комплексные числа. Здесь же надо отметить, что необходимость введения всех этих чисел особенно настоятельно ощущалась как-раз в А.: так, напр., квадратные иррациональности (корни) возникают при решении уравнений 2 — ой степени. Конечно,
