материалисты, справедливо находившие, что за всеми учениями о заложенных в человеческое сознание прирожденных идеях в явном или неявном виде скрывается представление о руке творца, к-рая эти идеи заложила; в то же время решительным противником учения Канта был величайший математик 19 в. К. Ф. Гаусс, к-рого отнюдь не могло смущать участие творца.
Тех же взглядов, что и Гаусс, держался по этому вопросу Н. И. Лобачевский. В первой же своей работе, содержавшей его новые взгляды на геометрию, Лобачевский говорит: «Первые понятия, с к-рых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — верить не должно». Идеи Лобачевского, их развитие, обоснование геометрии, а затем арифметики и алгебры, к к-рому его идеи привели, исследования чисто фактического свойства, с этими идеями связанные, — послужили к углублению вопроса.
Не может подлежать ни малейшему сомнению, что наблюдение, опыт, решение практических вопросов в житейской и научной практике имели решающее значение в возникновении и развитии математики и прежде всего в установлении ее А. И все же математика существенно отличается от других наук, и вопрос о ее происхождении оказался сложнее, чем это первоначально казалось. Остановимся для примера на одном вопросе в обосновании арифметики.
Простой как-будто вопрос об умножении числа на дробь представил как при решении его, так и при его обосновании большие трудности. Искали правила, как нужно выполнить это действие; и так как речь шла о математическом процессе, то требовалось неопровержимо доказать, что именно так, а не иначе нужно это делать. Решение, к-рое после Грасмана и Шредера у математиков уже не вызывает сомнений, сводится к следующему. Умножение на дробь — не есть процесс, происходящий в природе помимо человека, как, напр., процесс тепловой или электрический; это не есть поэтому процесс, к-рый можно изучить и законы к-рого можно установить путем наблюдения. Это есть операция, к-рую мы сами устанавливаем, и нам необходимо поэтому прежде всего условиться, чтб мы под умножением на дробь будем разуметь, т. — е. дать определение умножения на дробь. Когда же это определение будет точно установлено, то из этого уже проистекут правила, как операцию эту совершать, и свойства, к-рыми она обладает. И это условие или определение сводится к тому, что умножить число а на данную дробь значит умножить число а на числителя данной дроби и произведение разделить на ее знаменателя (предполагается, что правила умножения и деления на целое число уже установлены раньше). Но почему же установлено именно такое условие, а не иное? Нельзя ли было бы разуметь под умножением на дробь иную операцию? Ответ заключается в том, что установлением именно этого определе 40
ния достигается очень существенная практическая цель. Практические задачи, к-рые решаются умножением при целом множителе (напр., вычисление стоимости товара по данной цене единицы и по количеству единиц) при этом определении умножения на дробь решаются той же операцией и при дробном множителе (в приведенном примере, когда число единиц товара выражается дробью). Достигается единство или общность, заключающаяся в том, что устанавливается общее правило для решения задач определенного типа. Это и служит руководящим, из опыта почерпаемым указанием, какое соглашение для определения умножения на дробь наиболее целесообразно установить.
Из такого рода операций, вводимых по указанию практики, но все же условно устанавливаемых, слагается арифметика.
Условный характер математических определений, конечно, не означает того, что он исторически так и возникал в виде сознательных соглашений. Исторически эти основные арифметические операции создавались постепенно, как уже сказано, для решения практически возникавших вопросов. То же умножение на дробь, к-рым мы пользовались, как примером, применялось вначале ощупью, на практике доказывая свою пригодность. Но при логическом построении математики, при установлении ее аксиоматики, условный характер ее А. остается вне сомнения. В этом отличие математики от естествознания. И это коренится в том, что А. арифметики, как уже было указано выше, в действительности играют роль определений; каждое же определение вновь вводимого понятия, по существу, носит в себе элемент условности. При строго логическом обосновании арифметики А. и определения развертываются в ряд соглашений, к-рыми устанавливаются орудия (основные понятия) и средства (основные операции) арифметического метода. По мере того как усложняются вопросы количественного характера, к к-рым приводит практическая жизнь и наука, развертываются эти орудия и эти средства исследования; арифметический метод переходит в алгебраический, в высший математический анализ; но это суть раскидистые ветви мощного дерева, корни к-рого остаются в тех определениях, коими устанавливаются основные понятия и операции арифметики. Учения об отрицательных, иррациональных и особенно о мнимых числах оставались темными до тех пор, пока не были с полной отчетливостью выявлены те соглашения, коими они и операции над ними введены в математику (Гамильтон, Грасман).
Воззрение на А., к-рое сложилось в результате изложенных соображений и исследований, сводится к следующему. Знание, касающееся всех явлений природы, приобретается только путем их изучения наблюдением, опытами, вообще эмпирическим исследованием. В процессе этого рода исследований у человека образуются особые специально приспособленные аппараты и методы. Эти аппараты и методы мы сначала полусознательно, а потом вполне со-
