Страница:БСЭ-1 Том 02. Аконит - Анри (1926)-1.pdf/21

Эта страница не была вычитана

от определений: содержа в себе известные признаки арифметических понятий, А. тем самым их определяют. Основным положениям арифметики можно поэтому с таким же правом и с таким же успехом придать форму определений, как и форму А. Самые же определения-А. в учении о целых числах (а это учение составляет основу всей арифметики) вводятся Грасманом при помощи математической индукции, столь распространенной в доказательствах арифметики и алгебры. Обе идеи выясняются на следующем примере. Равенство  — а+(п + 1) = (а + п) + 1 выражает основное свойство суммы, которое можно рассматривать, как аксиому.

Но можно смотреть и так: если раньше было определено, чтб значит прибавить 1 и чтб значит прибавить п, то это равенство определяет, чтб значит прибавить (п+1). Если подойти с этой точки зрения и считать, следовательно, ранее установленным, чтб значит прибавить к целому числу 1, то этим равенством определяется, чтб значит прибавить (1+1), т. — е. 2, а затем, чтб значит прибавить (2+1), т. — е. 3 и т. д.

Это равенство, т. о., определяет, чтб значит придать какое угодно целое число; именно это существенно, а рассматривать ли его как А. или как определение — безразлично.

В этом порядке идей аксиоматику арифметики действительно развили Шредер, Пеано, Гамильтон, Штольц и др. (см. Теоретическая арифметика). Особенно важным это оказалось для выяснения значения отрицательных, иррациональных и мнимых чисел, — вопрос, вокруг к-рого шли споры в течение столетий. Но выполнить по отношению к системе А. арифметики все требования, к-рые были указаны выше, оказалось очень трудным. На пути стояли тонкие логические вопросы, к-рые при обосновании геометрии потому и отступили на задний план, что были отодвинуты в область арифметики. Так, вопрос о математической индукции, о ее роли в аксиоматике встает здесь с большой остротой. Это заставило математиков, занимавшихся этими вопросами, углубиться в область логики, придать ей, так сказать, математический облик.

В этом направлении работали Фреге, Уайтхед, Пеано, Рёссель, Гильберт и др. Они действительно создали своеобразное исчисление, известное в наст, время под названием математической логики (см.); но попытки дать этим путем самое обоснование логики, дать ее аксиоматику встретили значительные трудности и вызвали справедливые возражения.

В последние десятилетия много занимались также аксиоматикой механики, отдельных отраслей физики, теории вероятностей. Но на этом пути еще сделаны только первые шаги, потому что здесь еще остаются неясными основные вопросы чисто фактического свойства, до разрешения к-рых вряд ли можно говорить об аксиоматике.

При разработке аксиоматики точных наук большую роль играют вопросы гносеологические, т. — е. вопросы об источниках, из к-рых математические познания почерпнуты. Вопрос о происхождении математиче 38

ских А. представлял собою краеугольный камень всей теории познания (см.), т. — е. учения об источниках и путях, к-рыми приобретены все наши знания. Исключительная достоверность математических А. и всей математики вообще, непреложность ее истин, сохранившихся в течение тысячелетий, тогда как во всех других отраслях наши знания, взгляды и теории менялись и еще продолжают меняться, — ставило математическое познание в особое положение, и отсюда  — настойчивая работа мысли по вопросу об источнике этих знаний.

При всем кажущемся разнообразии мнений по этому вопросу, взгляды, господствовавшие до второй половины 19 в., сводились к двум основным точкам зрения.

Фактически еще от Платона исходит воззрение, что основные математические истины прирождены человеку. Эту точку зрения поддерживал в ранний период новой философии Декарт, ее защищал творец исчисления бесконечно малых Лейбниц. Даже когда эмпирическое происхождение знания уже твердо установилось, Кант считал математические А. априорными, т. — е. предшествующими всякому опыту; он смотрел на наши представления о пространстве (и времени), как на необходимую форму нашего мышления, как на одно из тех средств, коими человеческое мышление, по самой природе своей, совершается. Хотя сам Кант и многие его последователи считали эту точку зрения отличной от учения о врожденности математического знания, она, по существу, с ним совпадает. Учение Канта в первой половине 19 в. получило весьма широкое распространение. К нему примыкал, м. пр., известный англ. математик и философ Гамильтон, сыгравший очень большую роль в деле установления аксиоматики арифметики.

Вторая точка зрения на происхождение математических А. заключается в томх что они, как и все основные положения естествознания, приобретены эмпирически, т. — е. путем наблюдения и опыта. На этой точке зрения стоял основатель эмпирической философии Фр. Бэкон; этой точки зрения придерживались и сенсуалисты, не признававшие никакого познания, не воспринятого путем ощущений от внешнего мира.

Быстрые успехи эмпирических наук и огромная роль, к-рую в этом процессе играла математика, способствовали развитию этого воззрения и его укреплению. В 19 в. наиболее настойчивыми защитниками этой точки зрения были Д. С. Милль и Г. Гельмгольц. Исключительную достоверность, к-рая в нашем сознании соединяется с математическими А., Милль объяснял тем, что познание их приобретено не одним или несколькими научными экспериментами, а вековыми, изо дня в день повторявшимися наблюдениями и опытами, неизменно дававшими одни и те же результаты.

Как ни сильно было влияние Канта, во второй половине 19 в. и особенно к концу его — число сторонников учения об априорности математического познания уже было не велико. Безусловными противниками учения о врожденности и априорности были 2*