— 331 —
вершины пирамиды, по порядку, черезъ р/, р2', р3',...р'^.і, Vn'
He трудно видѣть, что
Pi=Vu Vz=Vz, Vs=Vs PZi=Pn-I-
Поэтому:
(Pl'+P2'+P8' + ...+p,n-l+Pn,)—(Pl+P2+Pз + •■•+P»-l)=P'n•
ECЛИ обхстъ пирамиды обозначимъ V, то очевидно:
Vi' -3TVi' +Ps*+• • • jTVnW Ѵ>Рі +V2+... +Рп—і-
Откуда: V—(р1+рг+...+р«_1)<р,я.
При неограниченномъ увеличеніи числа п объемъ призмы р„'
стремится къ нулю (потому что высота ея стремится къ нулю,
а основаніенеизмѣняется);слѣд.,разность V—(рі+Ра+.-.+Рп-і)
и подавно стремится къ нулю; а ото, по опредѣленію предѣла,
огначаета, что
7=пред. (Рі +Pa+• • • +Р»—і)•
Такъ какъ это доказательство можно примѣнить ко всякой
треугольной пирамидѣ, то можво утверждать, что V1, т.-е. объемъ
пирамиды S1, есть нредѣлъ перемѣнной суммы д1+д2+-..+9п—і-
Ho если двѣ перемѣнныя величины, имѣюіція предѣлы, всегда
остаются равными, то равны и ихъ предѣлы (281); поэтому:
[1]
↑
Проводя аналогію между площадями и объемами, можно было бы подумать, что равновеликость двухъ пирамидъ, о которыхъ говорится въ теоремѣ, можетъ быть сведена на равновеликость «по разложенію» (428, 3°), т.-е. что можно такія пирамиды разложить на одинаковое число частей, соотвѣтственно другъ другу равныхъ (конгруентныхъ).
Однако, это не такъ.
Въ 1900 году нѣмецкій математикъ Денъ (Dehn) впервые строго доказалъ (его очень сложное доказательство было затѣмъ упрощено русскимъ математикомъ В. Каганомъ), что двѣ пирамиды съ равновеликими основаніями и равными высотами вообще не могутъ быть разложены на конечное число соотвѣтственно конгруентныхъ частей. Болѣе того, доказано, что равновеликость такихъ пирамидъ не можетъ быть сведена даже и на равновеликость «по дополненію» (опредѣляемую въ § 423, 4°).
Такимъ образомъ, способъ предѣловъ (какимъ мы пользовались въ текстѣ)
есть единственный методъ доказательства равновеликости пирамидъ и вообще многогранниковъ.
