349. Теорема. Если двѣ плоскости имѣютъ общую точку, то онѣ имѣютъ и общую прямую, которая проходитъ черезъ эту точку и по которой плоскости пересѣкаются.
Пусть плоскость P (черт. 303) имѣетъ точку А, общую съ дру- гою плоскостью Q. Проведемъ на плоскости Q черезъ точку A какія-нибудь двѣ прямыя BB1 и CC1. Если бы случилось, что одна изъ этихъ прямыхъ лежитъ и на плоскости Р, то плоскости имѣли бы общую прямую. Предположимъ, что этого нѣтъ; тогда обѣ эти прямыя пересѣкаютъ плоскость P (345, 3°); слѣд., каждая изъ нихъ подраздѣлится плоскостью P на двѣ полупрямыя, расположенныя по разныя стороны отъ этой пло- скостп. Возьмемъ на полупрямыхъ AC п AB какія-нибудь точки Dn D1 и проведемъ прямую DD1. Эта прямая, переходя иаъ части пространства, ле- жащаго надъ плоскостыо Р, въ часть пространства, лежащаго подъ пло- скостью Р, пересѣчется съ плоско- стью P въ нѣкоторой точкѣ E (345, 4°). Такъ какъ, съ другой стороны, пря- мая DD1 нмѣетъ съ плоскостью Q двѣ общихъ точки (D п D1), то она принадлежитъ ей вся. Поэтому точка E прямой DD1 также принадлежитъ плоскости Q. Итакъ, плоскости PnQ имѣютъ двѣ общія точки AnE; значитъ, онѣ имѣютъ и общую прямую AE, проходящую черезъ эти точки. Что плоскости PnQ пересѣкаются по прямой AE (а не ка? саются), слѣдуетъ изъ того, что прямыя BB1 и CC1, содержащіяся въ плоскости Q, пересѣкаются съ Р.
350. Слѣдствіе. Пересѣченіе двухъ плоскостей всегда есть лрямая линія.
Дѣйствительно, если плоскости пересѣкаются, то онѣ имѣютъ общую точку, но въ такомъ случаѣ онѣ имѣютъ и общую прямую. Черт. 303.
