Страница:А. П. Киселёв. Элементарная геометрия (1914).djvu/170

Эта страница не была вычитана


лельныѳ между собою, и черезъ концы ихъ A и A1 проведемъ неогра. ниченную прямую. Пусть точка пересѣченія этой прямой съ линіей центровъ будетъ S. Докажемъ, что эту точку можно разсматривать какъ центръ прямого подобія данныхъ окруя н істей. Изъ построенія видно, что SO^O1 A1 R1 80~~ UA R Поэтому, если, взявъ за центръ прямого подобія точку S и за отношеніе подобія число Ic=R1 : R1 мы пастроимъ фигуру, подобно расположенную съ окружностью O1 то, согласно предыдущей теорѳмѣ, эта фигура и будетъ окружность O1. Значитъ, двѣ данныя окружности суть фигурьі, подобно расположенныя относительно центра прямого подобія S. Такъ жѳ убѣдимся, что если возьмемъ параллельные радіусы OA и O1A111 которыхъ иаправленія противоположны, и черезъ конуы ихъ A и Z11 проведемъ прямую, то эта прямая пересѣчетъ линію центровъ въ точкѣ F1, которую можно принять за уентръ обратнаго подобія данныхъ окружностей. Если радіусы R п R1 данныхъ окружностей будутъ равны, то пря- мая AA1 не пересѣчетъ линіи центровъ; въ этомъ случаѣ нѳ суще- ствуетъ прямого подобія, а есть только обратное.

218. Замѣчаніѳ. Вообразимъ, что лучъ подобія FZ (черт. 198) все болѣе и болѣе отклоняется отъ линіи центровъ. Тогда точрси A и B1 въ которыхъ этотъ лучъ пересѣкается съ окружностью O1 будутъ все болѣе и болѣе сближаться между собою; при этомъ и сходственныя имъ точки A1 и B1 будутъ также сближаться между собою, и въ тотъ моментъ, когда точки AnB сольются въ одну точку M1 точки Z1 и B1 также сольются въ одну точку M11 и тогда лучъ подобія сдѣлается общею внѣшнею касательною къ данны.мъ окружностямъ. Такимъ образомъ, обціая внѣшняя касательная к ъ 2-мъ окружностямъ (если она существуетъ) проходитъ черезъ центръ F ихъ прямого подобія. Такъ же можно разъяснить, что общая внутренняя касатель- ная къ 2-мъ окружностямъ (если она суціествуетъ) проходитъ черезъ центръ F1 ихъ обратнаго подо бія. Добавленіе: «если она суціествуетъ» мы должны сдѣлать потому, что центры подобія 2-хъ окружностей существуютъ всегда (по крайней мѣрѣ обратнаго подобія), тогда какъ обціія касательныя сущеётвуютъ не всегда (см. замѣчаніѳ къ задачѣ § 142). ^казанное свойство общихъ касательныхъ даетъ простой способъ ихъ построенія. Найдя центры F и F1 прямого и обратнаго подобія двухъ окружностей (посредствомъ проведенія параллельныхъ ра- діусовъ OA1 O1A1 и O1A111 черт. 198), черезъ каждый изъ нихъ про- водятъ касательныя къ одной изъ двухъ окружностей; эти касательныя должны касаться и другой окружности.