A1 съ B1 прямой, докажемъ, что AiB1H AB и что A1B1 : АВ=к. Тр-ки SA1B1 и SAB подобны, такъ какъ оріи имѣютъ по равному углу (при общей вегшинѣ F), заключенному между пропорціональными сто- ^ронами. Изъ ихъ подобія слѣдуетъ, во 1, равенство угловъ и, слѣд., параллельность сторонъ A1B1 и AB; во 2, пропоруіональность сто- ронъ: A1B1 : AB=SA1 : SA=K. Tenерь докажемъ, что полученный нами отрѣзокъ A1B1 есть фигура, подсбно расположенная съ отрѣзкомъ AB. Для этого возьмемъ какую- нибудь точку M на AB и проведемъ лучъ SM; пусть M1 будетъ точка, въ которой ототъ лучъ пересѣкается съ A1B1. Тр-ки SA1M1 и SAM под( бны, такъ какъ углы одного равны еоотвѣтственно угламъ другого (вслѣдствіе параллельности сторонъ A1B1 и AB). Изъ ихъ подобія слѣдуетъ: SM1 : SM = SA1 ISA = K; значитъ, точка M1 есть точка, сходственная съ М. Такимъ образомъ, какую бы точку M на AB мы ни взяли, сходственная ей точка M1 лежитъ на A1B1. Вообразимъ теперь, что точка M перемѣціается по AB отъ A къ В; тогда сходствен- ная ей точка M1 будетъ перемѣціаться отъ A1 къ B1, оставаясь по- стоянно на отрѣзкѣ A1B1. Значитъ, этотъ отрѣзокъ и будетъ фигурой, подобно расположенной съ AB. To же самое можно повторить и для обратнаго подобія. При этомъ изъ чертежа непосредственно усматриваемъ, что направленіе отрѣзка A1Bli получаюціагося при прямомъ подобіи, одинаково съ направле- ніемъ AB1 а направленіе отрѣзка A11Blli получаюціагося при обрат- номъ подобіи, противоположно направленію AB.
214. Теорема. Фигура подобно расположенная съ многоугольникомъ (ABCDi черт. 196) есть также многоугольникъ (Z1B1C1D1 илиЛп BnC11Dll); этотъ многоугогьникъ подобенъ первому, при чемъ отношеніе сторонъ его къ сходственнымъ сторонамъ перваго многоугольника равно отношеаію подобія. Согласно доказанному выше (213), фигура, подобно расположенная съ мн-комъ ABCDi должна быть образована такими отрѣзками пря- мыхъ, которые параллельны сторонамъ даннаго мн-ка и находятся къ нимъ въ отношеніи, равномъ отношенію подобія; слѣд., фи- гура A1B1C1D1 (и A11B11C11D11) есть мн-къ, у котораго стороны про- порціональны сторонамъ даннаго мн-ка. Съ другой стороны, такъ какъ отрѣзки A1Bli B1C1... имѣютъ одинаковое направленіе съ отрѣз-
