Страница:А. П. Киселёв. Элементарная геометрия (1914).djvu/125

Эта страница не была вычитана


на BC, соединимъ B съ D и разсмотримъ . Найдемъ его углы. Такъ какъ A ABD равнобедренный, то его углы ABD и ADB равны; слѣд.,каждый изъ нихъ равенъ 1/2(2сі—А)=1/2(2й— zIbd)=4*!/. Ho уголъ ABC, какъ мы прежде нашли, равенъ 6I/; слѣд., ZDBC=*I/—iI/=2!/- Такимъ образомъ, въ тр-кѣ DBC есть два равныхъ угла при BC; слѣд., онъ равнобедренный, при чемъ каждый уголъ при его основаніи BC равенъ 2I/. Вслѣдствіе этого, по доказанному выше, боковая сторона его DC (или BD) уложится въ основаніи BC одинъ разъ съ нѣкоторымъ остаткомъ. Пусть этотъ остатокъ будетъ EC. Соединивъ E съ D, мы снова получимъ равнобедренный тр-къ CDE, въ которомъ каждый уголъ при основаніи CD равенъ 2I/. Отложивъ EC (или DE) на DC (отъ точки D), мы снова получимъ равнобедренный тр-къ CEF, у котораго каждый уголъ при основаніи CE равенъ 2I/.

Такимъ‘образомъ, мы пѳстоянно будемъ приходить къ равнобедренному тр-ку (все меныпему и меныпему) съ углами при основаніи, равными 2I/; слѣд., мы никогда въ этомъ процессѣ не дойдемъ до конца. Значитъ, стороны AC и AB не могутъ имѣть общей мѣры.

157. Приведемъ ѳціѳ слѣдующій примѣръ несоизмѣримыхъ от- рѣзковъ прямой. Теорема. Діагональ квадрата нѳсоизмѣрима еъ его стороною. Такъ какъ діагональ квадрата раздѣляетъ его на два равнобѳдрен- ныхъ прямоугольныхъ тр-ка, то теорему эту можно высказать иными словами такъ: гипотѳнуза рав- нобѳдрѳнаго прямоуголь- наго трѳугольника нѳсо- измѣрима съ ѳго катѳтомъ. Предварительно докажемъ слѣдую- щеѳ свойство такого тр-ка: ѳсли на ги- потѳнузѣ (чѳрт. 148) отложимъ часть AD1 равную катѳту, и проведемъ DEJ^AC, то образовавшійся при этомъ п р я м о- угольный тр-къ DEC б у- дѳтъ равнобѳдренный, а отрѣзокъ BE к а т е т а BC о к а- ■ѵ жется равнымъ отрѣзку DC гипотенузы. Чтобы убѣдиться въ Черт. 148. этомъ, провѳдѳмъ прямую BD и разсмотримъ углы тр-ковъ DEC и BED. Такъ какъ тр-къ ABC равнобедрѳнный и прямоугольный, то

вслѣдствіѳ этого ^2 также равенъ V2^; значитъ, =^/2,