Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/24

Кривая третьего порядка как гессиана трех различных сетей коник. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 24.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

146. Заданная произвольным образом кубика $C_{3}$ может рассматриваться как гессиана трех других кубик, сизигических с ней (§ 143). Каждая из этих трех кривых порождает свою сеть полярных коник, поэтому заданная кубика является гессианой трех различных сетей коник. Относительно каждой из этих сетей, заданная кубика представляет собой место пар сопряженных полюсов (§ 132, b); поэтому тремя различными способами точки кубики могут быть сопряжены друг с другом, так, чтобы две сопряженные точки имели одну и ту же касательную точку, то есть на кубике существуют три системы соответствующих точек (§ 133, a).

Действительно, если $o$ — точка заданной кубики и $u$ — касательная точка для нее, то через точку $u$ проходят помимо $uo$ еще три касательные (§ 130, d); пусть $o',o'',o'''$ — их точки касания. Поэтому имеются три пары сопряженных полюсов $oo',oo'',oo'''$ относительно трех различных сетей, имеющих в качестве общей гессианы заданную кубику.

Применяя аналогичное рассмотрение к каждой из точек $o',o'',o'''$, как к точке $o$, мы сразу увидим, что для первой сети парами сопряженных полюсов являются $o,o'$ и $o'',o'''$; для второй — $o,o''$ и $o''',o'$; для третьей — $o,o'''$ и $o',o''$.

146a. Пусть $o,o'$ и $o'',o'''$ — две пары сопряженных полюсов относительно одной и тойй же сети; если прямые $oo''$ и $o'o'''$ пересекаются в точке $y$, а прямые $oo'''$ и $o'o'''$ в точке $z$, то также и $y,z$ — пара сопряженных полюсов относительно той же сети (§ 134).

Точки $o,o'',y$ лежат на одной прямой, поэтому точки, касательные к ним точки, лежат на некоторой другой прямой (§ 39, b) и совпадают с касательными точками для точек $o',o''',z$. Но касательные точки для $o,o''$ сливаются с точкой $u$, поэтому общая касательная точка для $y$ и $z$ является также касательной для $u$. Отсюда получается след.:

Если $oo'o''o'''$ — точки, в которых кубика касается четырех касательных, проведенных из ее точки $u$, то диагонали $xyz$ четырехугольника $oo'o''o'''$ лежат на кубике и касательные, проведенные в точках $u,x,y,z$ пересекают кривую в одной и той же точке.

146b. Из теоремы § 134 следует, что, если $a,a'$ и $b,b'$ — две пары соответствующих точек кубики, то для того, чтобы это соответствие было относительно одной и той же системы, необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения прямых $ab,a'b'$ и точка пересечения прямых $ab',a'b$ лежали на кривой. ^[1] Отсюда, воспользовавшись результатом § 45d, можно вывести следующее:

Если полный четырехсторонник вписан в кубику, то противоположные вершины образуют три пары соответствующих точек относительно одной и той же системы.

Здесь непосредственно получается разделение полных четырехсторонников, вписанных в кубику, на три различные системы.

146c. Пусть $a,a_{1}$ и $b,b_{2}$ — две пары сопряженных полюсов относительно двух различных сетей; $\alpha$ — касательная точка для $a$ и $a_{1}$; $\beta$ — касательная точка для $b$ и $b_{2}$. Пусть $c,c_{3},\gamma$ — третьи пересечения кубики с прямыми $ab$, $a_{1}b_{2}$ и $\alpha \beta$; тогда $\gamma$ — тангенциальная точка как для $c$, так и для $c_{3}$. Поэтому $c,c_{3}$ — два полюса, сопряженных относительно третей системы (§ b). Аналогично: если прямые $ab_{2},a_{1}b$ пересекают кубику в точках $c_{2},c_{1}$, то эти точки являются полюсами, сопряженными относительно третьей сети^[2].

147. Пусть задана точка $o$ и пучок коник, описанных вокруг четырехугольника $efgh$, каково место точек касания касания касательных, проведенных из точки $o$ к этим коникам? Поскольку через точку $o$ можно провести только одну конику пучка, искомое место проходит через точку $o$. Кроме точки $o$, любая секущая, проведенная через эту точку, содержит еще две другие точки этого места, именно, двойные точки инволюции, порожденной пучком коник на секущей (§ 49). Поэтому искомое место является кубикой, которая проходит через точки $e,f,g,h$, поскольку можно найти такую конику пучка, которая бы касалась прямой $oe$ в точке $e$, или прямой $of$ в $f$ и т. д.

Каждая коника пучка пересекает кубику в двух других точках $m,m'$ (отличных от $e,f,g,h$), это — две точки, в которых коника касается двух прямых проведенных через точку $o$. Прямые $mm'$ являются, следовательно, полярами для $o$ относительно коник пучка и проходят через одну неподвижную точку $u$ (точку, противостоящую четырем точкам $e,f,g,h$) (§ 65). Когда коника проходит через точку $o$, две точки $m,m'$ сливаются в точку $o$; поэтому эта коника касается кубики в точке $o$, а $u$ является касательной точкой для $o$.

Среди коник пучка имеются три коники, составленные из двух прямых, именно, пары противоположных сторон $(ef,gh)$, $(eg,fh)$ и $(eh,fg)$ заданного четырехугольника; для каждого из них точки $m,m'$ сливают в соответствующую диагональную точку. Отсюда следует, что диагональные точки $o',o'',o'''$ четырехугольника принадлежат кубике, а касательные, [проведенные к кубике] в этих точках, пересекаются в точке $u$.

Поскольку прямые $o(e,f,g,h)$ являются касательными к кубике в точках $e,f,g,h$, коника, проходящая через пять точек $o,e,f,g,h$, является первой полярой для точки $o$ относительно построенной кубики. Аналогично, коника, проходящая через пять точек $u,o,o',o'',o'''$ , является первой полярой для точки $u$.

148. Пусть $o$ — произвольная точка заданной кубики $C_{3}$, а $u$ — касательная точка для $o$. Если $K_{3}$ — кубика, гессианой которой является $C_{3}$, то $uK_{3}$ распадается на пару прямых, одна из которых проходит через точку $o$ (§ 133, b); поэтому $o^{2}K_{3}$ проходит через току $u$. Но точка $u$ лежит также и на прямой $o^{2}C_{3}$, поскольку эта последняя касается $C_{3}$ в точке $o$; следовательно, в точке $u$ пересекаются полярные прямые для точки $o$ относительно всех кубик, проходящих через точки пересечения $C_{3}$ и $K_{3}$ (§ 84c), иными словами:

Если прямая касается кубики в точке $o$ и пересекает ее еще в другой точке $u$, то все полярные прямые для $o$ относительно всех кубик, сизигических с заданной, проходят через точку $u$.^{[3] [4]}

148a. Пусть $o,o',o'',o'''$ — точки касания касательных, проведенных к заданной кубике из точки $u$; по предыдущей теореме точка $u$ лежит на полярных прямых для каждой из этих четырех точек относительно всех сизигических кубик. Поэтому полярные коники для $u$ относительно названных кубик проходят через точки $o,o',o'',o'''$^[5].

Три пары противоположных сторон четырехугольника $oo'o''o'''$ являются полярными кониками для $u$ относительно трех сизигических кривых, гессианой которых является кубика $C_{3}$, и, следовательно, касательными к трем соответствующим кейлианам.

148b. Заметим теперь, что согласно § 146a $o',o'',o'''$ — диагональные точки четырехугольника, образованного четырьмя точками, в которых прямые, проведенные через точку $o$ касаются заданной кубики, [и § 148a этот четырехугольник вписан в полярную конику для $o$ относительно любой из сизигических кубик, поэтому в силу § 108b треугольник $o'o''o'''$ сопряжен относительно этой коники, то есть] точка $o'$ является полюсом прямой $o''o'''$ относительно полярной коники для $o$ относительно всех сизигических кубик и т. д.

149. Пусть $\alpha ,\beta ,\gamma$ — три точки, в которых прямая пересекает заданную кубику и пусть $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}$, $b_{0},b_{1},b_{2},b_{3}$ и $c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}$ — точки, в которых кривой касаются прямые проведенные из этих точек. Поскольку касательные точки для трех точек, лежащих на одной прямой, сами лежат на одной прямой, прямая, соединяющая одну из точек $a$ с одной из точек $b$, неизбежно проходит через одну из точек $c$; таким образом, двенадцать точек $abc$ лежат на шестнадцати прямых, по три точки на каждой прямой^[6].

Пусть $a_{0},b_{0},c_{0}$ — три точки, выбранные из этих двенадцати таким образом, что они лежат на одной прямой; а $a_{1},b_{1},c_{1}$, $a_{2},b_{2},c_{2}$, $a_{3},b_{3},c_{3}$ — соответствующие им точки, относительно трех сетей коник, каждая из которых порождает заданную кубику, рассматриваемую как гессиана сети (146). В силу теоремы § 134 на одной прямой лежат след. тройки точек:

	$a_{0}b_{1}c_{1}$,	$b_{0}c_{1}a_{1}$,	$c_{0}a_{1}b_{1}$,
	$a_{0}b_{2}c_{2}$,	$b_{0}c_{2}a_{2}$,	$c_{0}a_{2}b_{2}$,
	$a_{0}b_{3}c_{3}$,	$b_{0}c_{3}a_{3}$,	$c_{0}a_{3}b_{3}$,
и, конечно,		$a_{0}b_{0}c_{0}$.

В силу теоремы § 146c на одной прямой также лежат след. тройки:

	$a_{1}b_{2}c_{3}$,	$a_{2}b_{3}c_{1}$,	$a_{3}b_{1}c_{2}$,
	$a_{1}b_{3}c_{2}$,	$a_{2}b_{1}c_{3}$,	$a_{3}b_{2}c_{1}$,

Эти 16 прямых можно сгруппировать в 8 систем по четыре прямые в каждой так, чтобы прямые каждой системы содержали все 12 точек касания^[7].

149a. Точки $a_{1},b_{1},c_{1}$, соответствующие точкам $a_{0},b_{0},c_{0}$ относительно одной и той же сети, являются вершинами треугольника, стороны которого проходят через $a_{0},b_{0},c_{0}$, (§ 134), а также точками касания кубики и полоконики для прямой $a_{0}b_{0}c_{0}$ относительно той же сети (§ 137). Поэтому в силу § 39 прямые, соединяющие точки $a_{1}b_{1}c_{1}$ с вершинами треугольника, образованного касательными $\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{1}$, пересекаются в одной точке ^[8].

Аналогичными свойствами обладают точки $a_{2},b_{2},c_{2}$ и $a_{3},b_{3},c_{3}$, соответствующие точкам $a_{0},b_{0},c_{0}$ относительно двух других сетей.

149b. Прямые $a_{0}b_{0}$ и $a_{1}b_{1}$ пересекаются заданную кривую в точке $c_{0}$, поэтому эта кривая проходит как через общие точки двух систем трех прямых

$(\alpha a_{0},\beta b_{0},\gamma c_{0})$ и $(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$,

так и через общие точки двух других аналогичных систем $(\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{0})$ и $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$. Но тогда в силу § 50b существует место третьего порядка, удовлетворяющее двойному условию: она проходит через общие точки двух систем

$(\alpha a_{0},\beta b_{0},\gamma c_{0})$ и $(\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{0})$

и содержит пересечения двух систем

$(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$ и $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$.

Этим двум условиям полностью удовлетворяет система трех прямых

$(\alpha \beta ,[01][10],\gamma c_{0})$,

где [01] обозначает общую точку прямых $\alpha a_{0},\beta b_{1}$, а [10] — точку, в которой пересекаются прямые $\alpha a_{1},\beta b_{0}$. Но любое место третьего порядка, принадлежащее пучку, заданному двумя системами

$(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$ и $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$,

не может быть ничем иным как [кривой, составленной] из прямой $\alpha \beta$ и пары прямых, сопряженных в квадратичной инволюции, двойными лучами которой являются прямые $a_{0}b_{0}$ и $a_{1}b_{1}$ ^[9]. Поэтому прямая [01][10] проходит через точку $c_{0}$^[10] и является гармонически сопряженной для прямой $\gamma c_{0}$ относительно пары $a_{0}b_{0},a_{1}b_{1}$ (§ 25a).

149c. Из тех же соображений: если прямая $\alpha a_{0}$ пересекает прямые $\beta b_{2},\beta b_{3}$ в точках [02], [03] соответственно, а прямая $\beta b_{0}$ пересекает прямые $\alpha a_{2},\alpha a_{3}$ в точках [20], [30] соответственно, то прямые [02][20] и [03][30] проходят через точку $c_{0}$. Обозначив как [00] общую точку прямых $\alpha a_{0},\beta b_{0}$, видим, что две системы четырех точек — [00, 01, 02, 03] и [00, 10, 20, 30] — имеют равные ангармонические отношения, поскольку они получаются в результате пересечения двмя секущими $\alpha a_{0}$ и $\beta b_{0}$ одного и того же пучка четырех прямых, пересекающихся в точке $c_{0}$.

Отсюда следует, что ангармонические отношения двух пучков $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$ и $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$ равны, то есть что шесть точек [00], [11], [22], [33], $\alpha$, $\beta$ лежат на одной и той же конике, как это уже было доказано выше в § 131a.alterne

Аналогично, поскольку в точке $c_{1}$ пересекаются четыре прямые $a_{0}b_{1},a_{1}b_{0},a_{2}b_{3},a_{3}b_{2}$, два пучка $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$ и $\beta (b_{1},b_{0},b_{3},b_{2})$ имеют равные ангармонические отношения и т. д.

149d. Итого:	в точке	$c_{0}$	пересекаются прямые	[01][10], [02][20], …
а также	"	$c_{1}$	"	[00][11], [22][33], …
	"	$c_{2}$	"	[00][22], [33][11], …
	"	$c3$	"	[00][33], [11][22] ,…[11].

Следовательно, точки [00], [11], [22], [33], в которых пересекаются гомологические лучи двух проективных пучков $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$ и $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$, составляют полный четырехугольник, диагонали которого $c_{1},c_{2},c_{3}$ принадлежат кубике и являются точками касания трех касательных, проведенных к ней из точки $\gamma$, третьего пересечения кубики с прямой $\alpha \beta$.

Когда точки $\alpha \beta$ сливаются, отсюда получается теорема, уже доказанная выше в § 146a.

149e. Точки $\alpha ,\beta$ являются центрами двух проективных пучков, причем прямым $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$ соответствуют прямые $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$. Проведем через точку $\alpha$ произвольную прямую, которая пересекает прямую $\beta b_{0}$ в точке $[x0]$; соединим точку $[x0]$ с точкой $c_{0}$ прямой, пересекающей $\alpha a_{0}$ в точке $[0x]$; тогда $\beta [0x]$ и есть прямая, соответствующая $\alpha [x0]$^[12]. Таким образом получается, что прямая $\alpha \beta$ соответствует $\beta c_{0}$ или $\alpha c_{0}$ в зависимости от того, рассматривается ли прямая $\alpha \beta$ как луч пучка $\alpha$ или $\beta$. В силу § 59 прямые $\alpha c_{0}$ и $\beta c_{0}$ являются касательными в точках $\alpha$ и $\beta$ к конике, порожденной двумя проективными пучками; иными словами, $c_{0}$ является полюсом прямой $\alpha \beta$ относительно коники $\alpha \beta$[00][11][22][33] (см. § 107)

Аналогично, точки $c_{1},c_{2},c_{3}$ являются полюсами прямой $\alpha \beta$ относительно трех других коник, проходящих через точки $\alpha ,\beta$ и пересечения касательных, проходящих через $\alpha$ и $\beta$ (§ 131a). Иными словами:

Касательные, которые можно провести к кубике из двух ее точек $\alpha ,\beta$, пересекаются в 16-ти точках $[xy]$, которые можно разложить по четыре на четыре коники, проходящие через точки $\alpha$ и $\beta$.

Полюса прямой $\alpha \beta$ относительно этих коник лежат на кубике, которая здесь касается четырех прямых, пересекающихся в точке $\gamma$, третьем пересечении кривой с прямой $\alpha \beta$.

Полюса $\alpha \beta$ относительно любых трех из этих коник являются диагональными точками полного четырехугольника, имеющего вершинами четыре точки $[xy]$, лежащие на четвертой конике^[13].

149f. Полярная коника для $c_{0}$, помимо точки касания кубики в $c_{0}$, пересекает ее еще в точка $pqrs$. Каждая коника, проходящая через $pqrs$, пересекает кубике еще в двух других точках, лежащих на одной прямой с $\gamma$, касательной точкой для $c_{0}$ (147); поэтому коника, проходящая через $pqrs$ и $\alpha$, проходит также и через $\beta$.

Заметим теперь, что диагональными точками полного четырехугольника $pqrs$ являются $c_{1},c_{2},c_{3}$, то есть точки, имеющую общую тангенциальную точку с $c_{0}$ (§ 146a). Следовательно, треугольник $c_{1}c_{2}c_{3}$ является сопряженным относительно каждой коники, описанной около четырехугольника $pqrs$.

Но поскольку $c_{1},c_{2},c_{3}$ также являются диагональными точками четырехугольника [00][11][22][33], треугольник $c_{1}c_{2}c_{3}$ является сопряженным и относительно коники, на которой лежат шесть точек $\alpha ,\beta$, [00], [11], [22] и [33]. Следовательно, (§ 108e) эта коника проходит также и через точки $p,q,r,s$^[14].

150. Если в общем методе § 67c для построения точки, лежащей против четырех точек кубики $C_{3}$, предположить, что эти точки, рассматриваемые как пары, сводятся только к двум $a,b$, то противолежащая точка $\gamma$ окажется на одной прямой с тангенциальными точками $\alpha ,\beta$ для $a,b$, то есть сама окажется тангенциальной точкой для третьего пересечения $c$ кубики с прямой $ab$. Каждая прямая, проведенная через точку $\gamma$, пересекает кубику еще в вух других точках $m,n$, через которые проходит коника, касающаяся в точках $a$ и $b$ самой рассматриваемой кубики; следовательно, если точки $m,n$ совпадают, то коника и кубика имеют 3 двухточечных касания (tre contatti bipunti). Через точку $\gamma$ проходят четыре прямые, касающиеся кубики $C_{3}$; одна из точек касания, именно $c$, лежит на одной прямой с точками $a,b$; другие три пусть будут как $c_{1},c_{2}c,_{3}$, рассмотрим конику, касающуюся кубики в точка $a,b,c_{1}$. Точки $c,c_{1}$ являются сопряженными полюсами относительно одной из трех систем коник, гессиана для которых является заданной кубикой (§ 146); и если $b_{1}$ — полюс, сопряженный к $b$ в той же сети, то прямая $b_{1}c_{1}$ проходит через $a$, а прямые $bc_{1}$ и $b_{1}c$ пересекаются в точке $a_{1}$, полюсе, сопряженном к точке $a$ относительно той же сети (§ 134). Иными словами, если кубика касается в точках $a,b,c_{1}$ кривой второго порядка, то полюса, $a_{1},b_{1},c$, сопряженные к $a,b,c_{1}$ относительно одной из трех сетей, лежат на одной прямой; отсюда следует, что кривая второго порядка является полоконикой для прямой $a_{1}b_{1}c$ (§ 137). Аналогично, если $a_{2},b_{2}$ и $a_{3},b_{3}$ — точки, соответствующие $a,b$ в двух других сетях, то коники, касающиеся кубики в $a,b,c_{2}$ и $a,b,c_{3}$ являются полокониками для прямых $a_{2}b_{2}c$ и $a_{3}b_{3}c$ относительно этих сетей. ^[15]

Таким образом, коники, касающиеся кубики в трех точках, можно разделит на три системы относительно трех сетей, имеющих в качестве общей гессианы заданную кубику. Шесть точек касания двух коник одной и той же системы лежат на одной конике, и наоборот, если три точки касания коники одной системы лежат в общем случае на линии второго порядка, то эта последняя пересекает пересекает кубику еще в трех точках, в которых, в которых кубика касается другой коники той же системы (§ 137a).

Если полоконика $R^{2}C_{3}$ должна пройти через две заданные точки $o,o'$, то прямая $R$ должна касаться полярных коник $o^{2}C_{3}$ и ${o'}^{2}C_{3}$ (§ 136a). Но две коники имеют четыре общие касательные, поэтому через две заданные точки в общем случае можно провести 12 коник (по четыре на каждую систему), имеющие три точки касания кратности 2 с заданной кривой третьего порядка.

Полоконика для стационарной касательной, для каждой из трех сетей, имеет шеститочечное касание с гессианой (§ 137); поэтому существует 27 коник (по 9 в каждой системе), имеющих шеститочечное касание с заданной кубикой^[16]. Точки касания — это точки, соответствующие в трех системах 9 точкам перегиба, то есть точки, в которых кубика касается прямых проведенных из одной из точек перегиба (§ 39d). Одну из этих точек обозначим как $p$, другую как $q$, третью как $r$, так, чтобы первая принадлежала первой системе, вторая — второй, а третья — третьей.

Три точки перегиба, лежащие на одной прямой, и 9 точек $p,q,r$, им соответствующим в трех системах, составляют вмести комплекс 12 точек, к которому можно применить свойство из § 149. Итого:

Каждая прямая, связывающая две точки $p$ (одной системы) проходит через точку перегиба;

Каждая прямая, соединяющая точки $p,q$ (двух различных систем) пересекает кубику в точке $r$ (третьей системы).

И наконец, в силу § 137a:

Шесть точек $p$, соответствующих (в одной и той же системе) шести точкам перегиба, лежащим на двух прямых, лежат на конике^[17].

Примечания

1. Достаточность: если заданы $a,a'$ и $b$, то положение точки $b'$, сопряженной к $b$ относительно той же системы, что и сопряжение $a,a'$, дается однозначно построением § 134. — Перев.
2. Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung und die Kegelschnitte, welche diese Curven in drei verschiedenen Puncten berühren (Журнал Крелля, Bd. 36, Berlin, 1848, p. 148—152).
3. Salmon, On curves of the third order, p. 535.
4. В авторском экземпляре отмечено след.: Из теоремы § 132c следует, что проведенные через точку $u$ другие три касательные к $C_{3}$ являются полярными прямыми для $o$ относительно тех трех кубик, для которых $C_{3}$ является гессианой. Таким образом, четыре касательные, которые можно провести к кубике $C_{3}$ через точку $u$, являются полярными прямыми для одной из точек касания относительно $C_{3}$ и трех кубик, для которых $C_{3}$ является гессианой. Ангармоническое отношение четырех касательных, следовательно, равно ангармоническому отношению четырех кубик: отсюда получается новое доказательство постоянства ангармонического отношения четырех касательных при изменении точки $u$ (§ 131).
   Если $o$ — точка перегиба кубики $C_{3}$, то в силу предыдущей теоремы три прямые, которые можно провести через точку $o$ так, чтобы они касались кубики $C_{3}$, являются стационарными касательными в $o$ к тем трем кубикам, для которых $C_{3}$ является гессианой, это тоже уже было доказано выше в § 141. — Перев.
5. Cayley, A Memoir on curves etc. p. 443.
6. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 272.
7. Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung u.s.w. p. 153.
8. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 46.
9. Если коники некоторого пучка имеют общую двойную точку $c_{0}$, то есть если каждая из них составлена из двух прямых, пересекающихся в точке $c_{0}$, то все такие пары прямых образуют инволюцию, двойные лучи которой представляют те две линии пучка, для которых $c_{0}$ — точка возврата (см. § 48). — Авт.
10. В авторском экземпляре прибавлено след.: поскольку прямая [01][10] проходит через $c_{0}$, то, следовательно, шестиугольник $\alpha a_{0}b_{0}\beta b_{1}a_{1}$ вписан в конику (S. Roberts, Ed. Times за октябрь 1868 г.). — Перев.
11. В каждой из точек $c$ пересекаются шесть прямых, аналогичных [01] [10], [напр., через точку $c_{0}$ проходят прямые [01][10], [02][20], [03][30], [23][32], [31][13], [12][21].] — Автор.
12. В авторском экземпляре имеется разъяснение: поскольку $c_{0}$ — точка, в которой пересекаются прямые, связывающие пересечения пар чередующихся лучей, именно, $(\alpha a_{0},\beta b_{1})$, $(\alpha a_{1},\beta b_{0})$; $(\alpha a_{0},\beta b_{2})$, $(\alpha a_{2},\beta b_{0})$; и т. д. — Перев.
13. Salmon, Théorèmes sur les courbes de troisième degré, p. 276, — Higher plane curves, p. 134.
14. Samuel Roberts, On the intersections of tangents drawn through two points on a curve of the third degree (Quarterly Journal of pure and applied Mathematics, vol. 3, London 1860, p. 121).
15. Выше вводились полоконики относительно $C_{3}$, но можно назвать полоконикой относительно сети то, что раньше имновалось полоконикой относительно ее гессианы. — Перев.
16. Steiner, Geometrische Lehrsätze (Журнал Крелля, Bd. 32, Berlin, 1846, p. 132).
17. Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung u. s. w. p. 165—175.
    Помимо мемуаров, названных в этом и пред. параграфах, см.
    • Möbius, Ueber die Grundformen der Linien der dritten Ordnung (Abhandlungen der K. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, 1. Bd, Leipzig 1849, p. 40).
    • Bellavitis, Sulla classificazione delle curve del terz’ordine (Memorie della Società Italiana delle scienze, t. 25, parte 2, Modena 1851, p. 33). — Sposizione dei nuovi metodi di geometria analitica (Memorie dell’Istituto Veneto, vol. 8, Venezia 1860, p. 342).
    — Автор.