Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/90

75 § 22 Если указанное услов1е выполнено, т. е. а 2а', р = 2[3', у — - 2у',... то квадратный корень числа /// представится въ такой формъ: Л/т -аи'Ь?с» .. Если же число т не предегавляеть собою полнаго квадрата, то нельзя также указать такой дроби p/q. квадратъ которой равнялся бы числу ;//. Действительно, если у какого-нибудь первоначальнаго множителя а числа /;/ показателемъ степени служитъ нечетное число а, то равенство iiiq'1=p'1 невозможно; въ самомъ дъл-fe, такъ какь показатель числа а нредставляетъ собой нечетное число, то это равенство было бы возмож- возможно только въ томъ случаъ. если бы и въ число р2 множитель а входилъ съ нечетнымъ показатеяемъ. Точно также несократимая дробь mhi представляетъ собою пол- полный квадратъ некоторой дроби p/q лишь вь томъ случаъ. когда числа т и // оба представляютъ собой полные квадраты. Действительно, предположимъ, что числа ш и » не имъють ни од- одного общаго множителя; положимъ далъ-e, что въ составъ числа ;;/ вхо- входить простое число а съ нечетнымь показателемь а; если бы при этихъ услов1яхъ имъло мъсто равенство ип^^пр2, то правая его часть пр2 должна была бы содержать множителя а"; въ виду того, однако, что знаменатель и не содержитъ множителя а, мы должны были бы притти къ заключешю, что полный квадратъ рг содержитъ множитель а въ не- нечетной степени; это же не можегъ имъть мъста*). 2. Такимъ образомъ выполнеше цъйств1я, обратнаго возвышешю вь степень, оказывается иногда невозможнымь уже при показателъ 2. Задача эта представляется въ той же степени неразрешимой, какъ во- просъ о дъленш цълыхъ чиселъ до введешн дробей. i:) [ [олагаютъ. что 11иеагоръ первый ясно понялъ невозможность выразить числомъ (a'Aoyov) корень квадратный нзъ числа, которое не представляетъ собой полнаго квадрата, напр, квадратный корень изъ числа 2, который представляетъ собою отношешс д1агонали квадрата къ его сторонЕ. У Евклида (Elemente X. 117. Heiberg, т. JII, стр. 409) находимъ указанное еще Аристотелемъ доказательство это- этого иредложешя. Доказательство это по существу совпадаетъ съ приведеннымь на- нами въ текстЕ: нельзя указать двухъ цЕлыхъ чиселъ, которыя не имЕли бы об- щихъ множителей и удовлетворяли бы условто 2х*^у дЕйствительно, при налич- наличности такого равенства число у было бы четное (такъ какъ его квадратъ, т. е. л было бы четнымъ числомъ 2.г2); слЕдовательно, квадратъ его уг былъ бы кратнымъ четырехъ. Но если число 2а-2 кратно четырехъ, то число хг кратно 2, слЕдователь- слЕдовательно, число х было бы также четнымъ и имЕло бы съ числомъ у общаго множите™ 2i что противорЕчитъ условш. Дедекиндъ въ своемъ сочинеши „Непрерывность и иррашональныя числа" приводить другое доказательство, не основанное на тсоремахъ о разложенш числа на первоначальныхъ множителей.