Уравнения движения энергии в телах (Умов)/II: различия между версиями

[непроверенная версия][досмотренная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 182:
 
'''§ 7.''' Я закончу настоящий отдел несколькими общими соображениями относительно законов движения энергии, не ограничиваясь случаем, когда она распространяется во всех направлениях с постоянной скоростью. Вообразим себе внутри упругого тела бесконечно малый плоский элемент, нормаль коего обозначим через <math>n</math>. Пусть сила упругости, действующая на элемент, будет <math>P</math>. Мы имеем по известным формулам теории упругости соотношения:
{{eqc|<math></math>|49}}\left.
\begin{matrix}
P\cos(Px) & = & p_{xx}\cos(nx) + p_{xy}\cos(ny) + p_{xz}\cos(nz), \\
P\cos(Py) & = & p_{xy}\cos(nx) + p_{yy}\cos(ny) + p_{yz}\cos(nz), \\
P\cos(Pz) & = & p_{xz}\cos(nx) + p_{yz}\cos(ny) + p_{zz}\cos(nz).
\end{matrix}
\right\}</math>|49}}
Умножая эти выражения на <math>u'</math>, <math>v'</math>, <math>w'</math> и складывая, находим:
{{eqc|<math>Pi\cos(iP) = - Ee\cos(en)</math>|50}}
Здесь <math>i</math> есть скорость центра рассматриваемого нами бесконечно малого плоского элемента, <math>e</math> — скорость движения энергии в этом центре. Означая через <math>i_p</math> слагающую скорости элемента по направлению силы упругости и через <math>l_n</math> — слагающую скорости энергии по нормали к элементу, выражение ([[#eq50|50]]) может быть написано в следующем виде:
{{eqc|<math>Pi_p = - El_n</math>|51}}
Мы видим из этого выражения, что сила упругости, взятая с отрицательным знаком, пропорциональна количеству протекающей через элемент в единицу времени энергии и обратно пропорциональна слагающей скорости частиц самого элемента по направлению силы упругости.
 
В каждой точке <math>M</math>. упругого тела всегда существуют три взаимно перпендикулярных плоских элемента, испытывающих одни только нормальные силы упругости. Воображая себе в точке <math>M</math> оси прямоугольных координат проведёнными таким образом, что плоскости координат параллельны указанным трём плоским элементам, мы имеем по формуле ([[#eq51|51]]):
{{eqc|<math></math>|52}}\left.
\begin{matrix}
-El_x & = & p_{xx}u', \\
-El_y & = & p_{yy}v', \\
-El_z & = & p_{zz}w'.
\end{matrix}
\right\}</math>|52}}
Выражения ([[#eq11|11]]), ([[#eq51|51]]) и ([[#eq52|52]]) показывают, что ''сумма из количества энергии, протекающей через произвольный плоский элемент, и работы сил упругости на элемент равна нулю''. Уравнение ([[#eq51|51]]), будучи справедливым для каждого плоского элемента внутри среды, имеет место на границах среды. Оно даёт, следовательно, возможность по давлению, испытываемому границами среды, определить количество входящей в неё энергии, зная при этом скорость движения частиц на границах. Точно так же, зная количество энергии <math>q</math>, входящей в среду в единицу времени, и зная скорость частиц на границах, мы можем определить давление или натяжение, соответствующее этому переходу. Заметим, что <math>q</math> имеет знак положительный, когда энергия выходит из тела, и отрицательный, когда энергия входит в тело. Следовательно, из ([[#eq51|51]]) мы находим:
{{eqc|<math>P = -\frac{q}{i_p}</math>|53}}
Если дано <math>q</math> и <math>P</math>, то найдём отсюда <math>i_p</math>; соотношение ([[#eq53|53]]) показывает именно, что скорость движения частиц тела на границе по направлению силы <math>P</math> равна частному из количества энергии, прошедшей через весьма малый плоский элемент, центр коего совпадает с частицей, и отнесённого к единице площади и времени, на давление или натяжение <math>P</math>.
 
Строка 202 ⟶ 214 :
Отсюда вычисляются:
<center>
{|
железо 0,3 м/сек,
| железо
платина 1,8 м/сек.
| width="100px" |
железо| 0,3 м/сек,
|-
| платина
| width="100px" |
платина |1,8 м/сек.
|}
</center>
Формула ([[#eq53|53]]) приводит нас еще к следующему заключению: ''скорости <math>i_p</math> граничных частиц всех упругих тел при одном и том же давлении или натяжении и при одном и том же количестве энергии, проходящем через них в бесконечно малый элемент времени, равны.''
 
'''§ 8. Уравнения движения энергии в телах жидких.''' Рассмотрим сначала жидкости, не обращая внимания на так называемое внутреннее трение частиц жидкости. Означая через <math>u</math>, <math>v</math>, <math>w</math> скорости движения частиц жидкости в одной и той же точке пространства, через <math>p</math> — давление и <math>\rho</math> - плотность, мы имеем следующие уравнения гидродинамики:
{{eqc|<math></math>|54}}\left.
\begin{matrix}
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} & = & \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}, \\
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} & = & \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z}, \\
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} & = & \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z}.
\end{matrix}
\right\}</math>|54}}
Мы снова опускаем случай действия внешних сил на частицы жидкости. Кроме приведённых соотношений, мы имеем ещё следующие:
{{eqc|<math></math>|55}}\left.
\begin{matrix}
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} = 0, \\
\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}.
\end{matrix}
\right\}</math>|55}}
Умножая выражения ([[#eq54|54]]) соответственно на и <math>udt</math>, <math>vdt</math>, <math>wdt</math>, складывая, деля на <math>dt</math> и интегрируя для всего объёма среды, находим:
{{eqc|<math></math>|56}\begin{matrix}
\iiint\frac{\rho}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(u^2+v^2+w^2\right)\,d\omega + \frac{1}{2}\iiint\left[\rho u\frac{\partial}{\partial x}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right. + \\
+ \left.\rho v\frac{\partial}{\partial y}\left(u^2+v^2+w^2\right) + \rho w\frac{\partial}{\partial z}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right]\,d\omega + \iiint\left(u\frac{\partial p}{\partial x} + v\frac{\partial p}{\partial y} + w\frac{\partial p}{\partial z}\right)\,d\omega = 0
\end{matrix}</math>|56}}
Первая часть этого выражения после интеграции по частям представится в виде:
{{eqc|<math></math>|57}\begin{matrix}
\iiint\left\{\frac{\rho}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(u^2+v^2+w^2\right) + \frac{u^2+v^2+w^2}{2}\frac{d\rho}{dt} - p\theta\right\}\,d\omega + \\
+ \iint\left[\rho\frac{\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2} + p\right]\left[u\cos(nx) + v\cos(ny) + w\cos(nz)\right]\,d\sigma = 0,
\end{matrix}</math>|57}}
где <math>d\sigma</math> есть элемент границ и <math>\theta</math> — кубическое расширение. Это выражение может быть написано ещё в таком виде:
{{eqc|<math></math>|58}\begin{matrix}
\iiint\left[\frac{\partial}{\partial t}\left\{\frac{\rho}{2}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right\} - p\theta\right]\,d\omega + \\
+ \iint\left[\rho\frac{\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2} + p\right]\left[u\cos(nx) + v\cos(ny) + w\cos(nz)\right]\,d\sigma = 0,
\end{matrix}</math>|58}}
Тройной интеграл, входящий в это выражение, представляет сумму изменений энергии во всех элементах пространства, занятого средой. Действительно, первый член подинтегральной функции тройного интеграла представляет изменение живой силы со временем в одном и том же элементе объёма среды; второй же член той же подинтегральной функции представляет изменение работы давлений в одном и том же элементе, взятое с надлежащим знаком. Отсюда следует, что двойной интеграл выражения ([[#eq58|58]]) представляет количество энергии, входящее в среду через её границы. Следовательно, выражение ([[#eq58|58]]) представляет закон сохранения энергии для всей жидкой среды, и потому оно тождественно с уравнением ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#7|7]]). Двойной интеграл уравнения ([[#eq58|58]]) должен быть тождествен с двойным интегралом уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#7|7]]) и, следовательно, должен преобразовываться в тройной интеграл, тождественный со вторым тройным интегралом выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]). Действительно, двойной интеграл выражения ([[#eq58|58]]) может быть преобразован в тройной интеграл следующего вида:
{{eqc|<math></math>|59}}