Уравнения движения энергии в телах (Умов)/II: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 32:
</math>|9}}
Первые два тройных интеграла представляют приращение энергии, отнесённое к единице времени, во всей упругой среде. Двойной интеграл распространяется на всю поверхность среды и представляет работу внешних давлений. Мы опускаем действие внешних сил на элементы упругой среды. Обращая внимание на значение величин <math>\delta u</math>, <math>\delta v</math> и <math>\delta w</math> по формуле ([[#eq8|8]]), мы замечаем, что двойной интеграл выражения ([[#eq9|9]]) преобразуется в следующий тройной интеграл:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
\iiint\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(p_{xx}u' + p_{yx}v' + p_{zx}w'\right)\right. + \\
+ \frac{\partial}{\partial y}\left(p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{yz}w'\right) + \\
+ \left.\frac{\partial}{\partial z}\left(p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w'\right)\right\}\,d\omega
\end{matrix}
Так как первые два тройных интеграла выражения ([[#eq9|9]]) тождественны с первым тройным интегралом выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]), то двойной интеграл, входящий в выражение ([[#eq9|9]]), взятый с тем знаком, с которым он входит в это выражение, или тождественный с ним тройной интеграл ([[#eq10|10]]), взятый с отрицательным знаком, должен быть тождествен со вторым тройным интегралом, входящим в выражение ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]); следовательно, подинтегральная функция тройного интеграла ([[#eq10|10]]), взятая с отрицательным знаком, должна быть тождественна подинтегральной функции второго тройного интеграла выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]), или, что всё равно, второй части уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I|I]]). Это заключение легко поверяется при помощи основных уравнений упругости, дающих возможность преобразовать сумму подинтегральных функций первых двух тройных интегралов, входящих в выражение ([[#eq9|9]]), тождественную с \frac{\partial E}{\partial t} , в отрицательную подинтегральную функцию выражения ([[#eq10|10]]). Из тождества этой последней со второй частью уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I|I]]) вытекают следующие равенства:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
-El_x & = & p_{xx}u' + p_{xy}v' + p_{xz}w', \\
-El_y & = & p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{uz}w', \\
-El_z & = & p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w',
\end{matrix}
откуда заключаем: ''количество энергии, протекающее через бесконечно малый плоский элемент в бесконечно малое время, равно отрицательной работе сил упругости, действующих на этот элемент.''
Строка 42 ⟶ 54 :
Рассмотрим колебания продольные. Пусть несущие их плоские волны перпендикулярны к оси <math>x</math>. Следовательно,
{{eqc|<math>v = 0,\qquad w = 0</math>|12}}
Положим, кроме того,
{{eqc|<math>u = A\cos\frac{2\pi}{T}\left(t - \frac{x}{\Omega}\right)</math>|13}}
где <math>\Omega</math> есть искомая скорость распространения продольных колебаний. Пользуясь выражениями сил упругости, данными Ламе, мы имеем в нашем случае:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
p_{xx} = (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}, & p_{yz} = 0, \\
p_{yy} = \lambda\frac{\partial u}{\partial x}, & p_{xy} = 0, \\
p_{zz} = \lambda\frac{\partial u}{\partial x}, & p_{xz} = 0.
\end{matrix}
Кроме того, мы имеем:
{{eqc|<math>\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{\rho}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + p_{xx}\frac{\partial\frac{\partial u}{\partial t}}{\partial x}</math>|15}}
▲{{eqc|<math></math>|15}}
Интегрируя это выражение по времени, имеем:
{{eqc|<math>E = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\lambda + 2\mu}{2}\right)\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2</math>|16}}
▲{{eqc|<math></math>|16}}
Вставляя сюда величину <math>u</math>, находим:
{{eqc|<math>E = \frac{2\pi^2A^2}{T^2}\left(\rho + \frac{2\mu+\lambda}{\Omega^2}\right)\sin^2\frac{2\pi}{T}\left(t - \frac{x}{\Omega}\right)</math>|17}}
▲{{eqc|<math></math>|17}}
С другой стороны, подставляя ([[#eq13|13]]) и ([[#eq14|14]]) в ([[#eq11|11]]), находим:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
-El_x = - (\lambda + 2\mu)\frac{4\pi^2A^2}{\Omega T^2}\sin^2\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{\Omega}\right), \\
-El_y = 0, \\
-El_z = 0.
\end{matrix}
\right\}</math>|18}}
Последние два соотношения дают <math>l_y = 0</math>, <math>l_z = 0</math>. Следовательно, <math>l_x = \Omega</math>, и первое из соотношений ([[#eq18|18]]) по сокращении общих факторов даёт соотношение:
{{eqc|<math>\Omega\left(\rho + \frac{2\mu + \lambda}{\Omega^2}\right) = \frac{2(\lambda + 2\mu)}{\Omega},</math>|19}}
откуда получается известный результат:
{{eqc|<math>\Omega^2 = \frac{\lambda + 2\mu}{\rho}</math>|20}}
В случае распространения плоской волны с колебаниями поперечными мы нашли бы точно так же известное выражение для скорости распространения поперечных колебаний.
| |||