Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/7: различия между версиями
| [досмотренная версия] | [досмотренная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bkmd (обсуждение | вклад) оформление |
Bkmd (обсуждение | вклад) оформление |
||
Строка 5:
|ЧАСТЬ = <br> Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 7
|ДАТАСОЗДАНИЯ=1862
|ИСТОЧНИК={{Источник|Introduzione (Cremona).djvu}}
|ПРЕДЫДУЩИЙ = Art. 6. [[../Точки и касательные, общие для двух кривых|Точки и касательные, общие для двух кривых]]
|СЛЕДУЮЩИЙ = Art. 8. [[../Поризмы Шаля и теорема Л. Карно|Поризмы Шаля и теорема Л. Карно]]
|СОДЕРЖАНИЕ = [[Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)|Оглавление]]
|КАЧЕСТВО=75%
}}
[[it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe]]
Строка 19 ⟶ 21 :
Проведем через <math>a</math> вторую прямую <math>A_1</math>; если кроме двух следующих друг за другом точек прямой <math>A</math> кривая должна содержать еще и точку прямой <math>A_1</math>, следующую за <math>a</math>, то она удовлетворяет ''трем условиям''. Но в этом случае, две прямые, проведенные через <math>a</math>, пересекали бы здесь кривую два раза, то есть <math>a</math> была бы двойной точкой этой кривой (§ [[Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/Определения, касающиеся плоских линий#30|30]]). Поэтому: если кривая должна иметь двойную точку в <math>a</math>, то она удовлетворяет ''трем условиям''.
Если кривая должна
Вообще, пусть <math>x_{r-1}</math> — число условий, выражающих то, что кривая имеет в <math>a</math> точку кратности <math>(r-1)</math>. Любая прямая <math>A</math>, проходящая через <math>a</math>, имеет здесь <math>r-1</math> точек, общих с кривой.
Если кривая должна содержать еще другую следующую за <math>a</math> точку на прямой <math>A</math>, то есть если прямая <math>A</math> должна иметь в <math>a</math> <math>r</math> точек, общих с кривой, то кривая должна удовлетворять еще одному новому условию. Если то же требуется на других <math>r-1</math> прямых, проходящих через <math>a</math>, то кривая удовлетворяет всего <math>x_{r-1}+r</math> условиям. Но когда через точку <math>a</math> проходит <math>r</math> прямых, имеющих здесь <math>r</math> точек, общих с кривой, сама точка <math>a</math> является точкой кратности <math>r</math> (§ [[Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/Точки и касательные, общие для двух кривых#31|31]]); поэтому, если кривая должна иметь в <math>a</math> точку кратности <math>r</math>, то она удовлетворяет <math>x_r = x_{r-1} +r</math> условиям; отсюда <math>x_r=\tfrac{r(r+1)}{2}</math>.
{{§|34}} Подсчитаем теперь число условий, полностью определяющих кривую порядка <math>n</math>. Если кривая должна иметь заданную точку <math>a</math> кратности <math>n</math>, то она должна удовлетворять (§ [[#33|33]]) <math>\tfrac{n(n+1)}{2}</math> условиям. Но линия порядка <math>n</math>, имеющая точку <math>a</math> кратности <math>n</math>, неизбежно представляет собой систему из <math>n</math> прямых, пересекающихся в точке <math>a</math> ([[Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/Точки и касательные, общие для двух кривых#31|31]]); и для того, чтобы эти прямые полностью определить, достаточно задать на каждой из них по одной точке. Поэтому:
Строка 41 ⟶ 43 :
Напр., касательные к кривой класса <math>m</math> образуют серию порядка 1 и индекса <math>m</math>.
В общем случае всегда существует линия, которая огибает данный ряд
Все ряды можно образовать непрерывным движением кривой, меняющей и форму, и положение в своем движении таким образом, чтобы все время удовлетворять всем наложенным условиям. Точки, в которых кривая ряда пересекает кривую, следующую за ней в этом ряду, являются также точками касания между первой из этих кривых и оболочкой этого ряда.
| |||