Викитека

Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/5: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[досмотренная версия][досмотренная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
оформление
стилевые правки
Строка 5:
|ЧАСТЬ = <br> Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 5
|ДАТАСОЗДАНИЯ=1862
|ИСТОЧНИК={{Источник|Introduzione (Cremona).djvu}}
|ПРЕДЫДУЩИЙ = Art. 4. [[../Теория инволюций|Теория инволюций]]
|СЛЕДУЮЩИЙ = Art. 6 [[../Точки и касательные, общие для двух кривых|Точки и касательные, общие для двух кривых]]
|СОДЕРЖАНИЕ = [[Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)|Оглавление]]
|КАЧЕСТВО=50%
}}
[[it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Definizioni relative alle linee piane]]
Строка 25 ⟶ 27 :
 
Прямая, рассматриваемая как место лежащих на ней точек, доставляет наиболее простой пример
линии-места, а точка, рассматриваемая как огибающаяоболочка всех проходящих через нее прямых,
доставляет простейший пример линии-оболочки.
 
Строка 65 ⟶ 67 :
</ref>
 
В точке касания <math>a</math> кривая имеет c касательной <math>A</math> две общие точки (''двухточечное касание''); следовательно, эти две линии имеет, в общем случае, еще <math>(n - 2)</math> точек пересечения, отличных от точки касания. Если две из этих <math>(n - 2)</math> точек опять <следуют дргу за другом и> совпадают св некоторой точкой <math>b</math>, прямая <math>A</math> является касательной к кривой также и в точке <math>b</math>. В этом случае прямая <math>A</math> называется ''двойной касательной'', а <math>a</math> и <math>b</math> являются двумя точками касания.
<ref>
Обе точки касания могут быть мнимыми даже тогда, когда касательная <math>A</math> является вещественной. Она обладает и в этом случае всеми свойствами двойной касательной. — Прим. авт.
Строка 87 ⟶ 89 :
</ref>
 
Если другие две из этих <math>m - 2</math> касательных <опять следуют друг за другом и> совпадают с некоторой прямой прямой <math>B</math>, кривая имеет в <math>a</math> две касательные <math>A, \, B</math>, то есть проходит два раза через <math>a</math>, образуя здесь ''узел'' ({{lang-it|nodo}}); прямые <math>A</math> и <math>B</math> касаются в точке <math>a</math> двух дуг ({{lang-it|rami}}) кривой, которые здесь скрещиваются. В этом случае точка <math>a</math> называется ''двойной точкой''.
<ref>
При этом допускается, что две касательные <math>A,\, B</math> — мнимые, и тогда также мнимыми будут две дуги кривой, хотя бы и точка пересечения <math>a</math> была вещественной. Эта точка называется ''изолированной '' и в этот случай можно рассматривать как бесконечно малый овал. — Прим. авт.</ref>.
Строка 95 ⟶ 97 :
Согласно формулам {{Персона|Плюкера|П}}, которые будут доказаны ниже (Art. XVI), кривая данного порядка не имеет в общем случае ни двойных точек, ни точек возврата, но имеет двойные и постоянные касательные, а оболочка данного класса в общем случае не имеет особых касательных, но зато имеет двойные и стационарные точки.
 
Тем не менее, если в особых случаях кривая может иметь особые точки и касательные и даже большей кратности ({{lang-it|moltiplicit'amoltiplicita}}). Говорят, что касательная имеет кратность <math>r</math>, или является <math>(r)</math>-кратной, если она касается кривой в <math>r</math> точках, которые могут быть различными, а могут целиком или частично совпадать друг с другом. Точка называется <math>(r)</math>-кратной, если здесь имеется <math>r</math> касательных, которые могут быть различны, а могут частично или целиком совпадать друг с другом.
 
{{§|31}} Если кривая имеет <math>(r)</math>-кратную точку <math>a</math>, любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает здесь кривую <math>r</math> раз, поэтому точка <math>a</math> эквивалентна <math>r</math> пересечениям прямой с кривой. Но если эта прямая касается одной из дуг кривой, проходящих через <math>a</math>, она имеет в качестве общей точки с кривой еще и точку дуги, которая следует за <math>a</math>, то есть эта точка считается как <math>r+1</math> пересечение кривой с касательной. Следовательно, среди всех прямых, проходящих через <math>a</math>, имеется не более <math>r</math> прямых (касательные к <math>r</math> дугам), которые пересекают здесь кривую в <math>r+1</math> совпадающих точках; поэтому, существование <math>r+1</math> прямых, обладающих этим свойством, возможно лишь тогда, когда им обладает любая другая прямая, проходящая через <math>a</math>, то есть когда <math>a</math> является точкой кратности <math>r+1</math>.
Строка 101 ⟶ 103 :
Аналогично: если кривая имеет касательную <math>A</math> кратности <math>r</math>, она считается как <math>r</math> касательных, проведенных из точки, взятой на ней произвольным образом; однако она считается как <math>r+1</math> касательных относительно каждой из точек касания кривой с прямой <math>A</math>. Таким образом, через каждую точку прямой <math>A</math> проходят <math>r</math> касательных, совпадающих с <math>A</math>; и имеется самое большее <math>r</math> точек на этой прямой, через каждую из которых проходит <math>r+1</math> касательная, совпадающая с этой прямой. Поэтому наличие большего числа точек, обладающих этим свойством, приводит к тому, что все точки прямой <math>A</math> неизбежно обладают этим свойством, и следовательно, эта прямая является касательной кратности <math>r+1</math>.
 
Из этих немногих предпосылок следует,вытекает чтослед.:
 
Линия порядка <math>n</math>, имеющая точку <math>a</math> кратности <math>(n)</math>, является системой <math>n</math> прямых, пересекающихся в точке <math>a</math>. В самом деле, прямая, соединяющая точку <math>a</math> с другой произвольной точкой линии-места, имеет с этой линией <math>(n + 1)</math>-у общую точку, и следовательно, является часть самой линии.
Источник — https://ru.wikisource.org/wiki/Введение_в_геометрическую_теорию_плоских_кривых_(Кремона)/5