ЕЭБЕ/Математика

Математика — В Библии и Талмуде. Сведения, которые нам дает Библия о состоянии математических познаний своего времени, чрезвычайно ограничены. Первыми 4-мя действиями Библия оперирует очень легко, что же касается более сложных познаний, то мы лишь из сообщения о величине так называемого «Соломонова Моря» (I Цар., 7, 23—26; II Хр., 4, 2—5) узнаем, что отношение окружности к диаметру круга считалось равным 3. Впрочем, в вопросе об отношении окружности к диаметру и в талмудическое время продолжали стоять на том же уровне знания. В Талмуде в разных местах (Сукка, 7в; Эруб., 13в и др.) принимается, как правило, что «всякий предмет, имеющий в окружности 3, имеет в ширину (диаметром) 1». Это, однако, не мешает Талмуду заниматься очень сложными для того времени геометрическими задачами, связанными с галахическими вопросами о «килаим» (см.), «Эрубин» (см.), об устройстве «Кущей» (см.) и т. п. Впрочем, в одном месте (в 49 Миддот де р. Натан) величина и (отношение окружности к диаметру) определяется равным 3,143… Определяются в Талмуде даже, правда, не совсем точно, такие величины, которые относятся к иррациональным числам. Так, вопрос об отношении диагонали (אלבםון‎) к стороне квадрата — иррациональное число √2 (которым следует помножить сторону квадрата, чтобы получить диагональ его) определяется в Талмуде формулой, что «всякой единице (локтю) в стороне квадрата соответствует 1,4 в его диагонали», בלאמתא בדיבועאאמתא ותדי חומשא באלבםונא‎ (Сукка, 8а и в параллельных местах). Тосафот, однако, ad loc. s. v. בל‎ остроумным построением доказывает неточность талмудич. определения отношения диагонали к стороне квадрата и приходит к заключению, что для галахич. вопросов не требуется математической точности. Талмуду приходится иметь дело и с другими иррациональными числами. По поводу одной галахи требуется определить, чему равняется сторона квадрата, площадь которого равна «Бет-Саатаим», םאתים‎, т. е. 5000 кв. локтей. Мишна (Эруб., II, 5) определяет его в 70 с дробью, שבעיםאמה ושידײם‎. Маймонид в своем комментарии объясняет, почему Мишна не определяет точно этого числа, и говорит, что это число можно выразить только приблизительно, что оно иррациональное, или, как он выражается, «число без предела», что «его невозможно точно выразить, как нельзя выразить точно отношения между окружностью и диаметром. Здесь никогда нельзя достигнуть предела, и это не следствие недостатка наших познаний, это лежит в самой природе этих чисел». Талмудисты очень часто и с большой легкостью оперируют разными геометрическими фигурами: треугольниками, квадратами, кругами, вписанными в квадраты (עיגול רנפיק מגו דיבזעא‎) и описанными вокруг них (דיבועא רנפיק מגו עיגולא‎), равно как соотношением между их элементами. Видно, что их математические познания хотя и были далеко не систематизированы, отличались глубиной и остроумием комбинаций. Они часто делают попытку приблизительно исчислять площади фигур, ограниченных отчасти прямыми, отчасти кривыми линиями, напр. определение площади сегментов в круге, описанном вокруг квадрата. Определение не совсем точное, но для целей галахи вполне достаточное. — Ср.: Zuckermann, Das Mathematische im Talmud, в Jahresbericht d. Seminar in Breslau, 1878.

1.3.

Математика в средние века. — Вплоть до арабского периода на еврейском языке не появилось ни одного специального произведения по М. И «Мишнат Миддот», самое древнее произведение этого рода, относится, вероятно, тоже к этой эпохе. [Шерира и Гаи Гаон в респонсе приводят совершенно неизвестное соч. םפד לאותות ולמוערים‎ (по астрономии) какого-то Рабба бар-Леви, где талмудическим словом פונדױן‎ обозначается 1/12 часть; см. Гаркави, Stud. u. Mittheil., IV, 201, 376]. Штейншнейдер, издавший впервые (Берлин, 1860) это произведение, считает его не вполне удачной попыткой изложить элементы геометрии. С распространением греко-арабской философии евреи стали принимать самое живое участие в развитии М., на которую тогда смотрели как на науку, подготовительную для изучения философии. Всю область М. арабы делили на ариaметику (החשבון חבמת‎), алгебру (ח׳ התשבודת‎), геометрию (ה׳ המרירה‎, הבמת ההנרםה‎), астрономию (חבמת התבונה‎), астрологию (ח׳ החזיון‎), оптику (ח׳ הדאות‎) и музыку (ח׳ הנגון‎). [Однако вследствие неблагоприятно сложившихся обстоятельств евреям, как и арабам, не было суждено занять в истории этих наук самостоятельное место. Рано остановившись на самостоятельных исследованиях, евреи-математики, как и астрономы, имели лишь значение передатчиков греческой и индусской М. и астрономии, и в этом смысле евр. математическая и астрономическая литература сыграла большую роль в истории умственного развития человечества]. Самым ранним евреем-математиком в тесном смысле этого слова следует считать Машаллу (правильней Ма-Ша-Алла), жившего на рубеже 8-го и 9-го вв. Его современником был Абу Отман Сагль ибн-Бишр ибн-Хабиб ибн-Хани, автор «Аль-Джабар валь-Мукабала» (об алгебре), и Синд бен-Али, написавший другое произведение под тем же названием и комментарий к «Элементам» Евклида. Приблизительно в то же время жил Сагль Раббан аль-Табари, который слыл величайшим геометром своего времени. [В особенности евреи приняли участие в составлении астрономических таблиц. На этом поприще особенно прославились вышеупомянутый Синд бен-Али (ок. 830), а позже Исаак ибн-Сид, принимавший главное участие в составлении Альфонсовых таблиц, и Иосиф ибн-Ваккар]. Из математиков 10 и 11 века следует упомянуть Бишра бен-Пинехас бен-Шуайба и Якова бен-Ниссим из Кайруана, автора «Хисаб аль-Губар» (חשבון האבק‎), трактующего об индусской математике. Начиная с 12 века стали появляться математические произведения и по-еврейски, по большей части в виде переводов с арабского. Первым изложившим геометрию по-еврейски был Авраам бар Хия га-Наси, автор «Хиббур га-Мешиха у-га-Тишборет». Произведение это, по-видимому, только часть его энциклопедии «Иесоде га-Тебуна у Мигдал га-Эмуна» («Основы науки и башня религии»); издан Штейншнейдером при содействии об-ва «Мекице Нирдамим» (1895); латинский перевод его принадлежит Платону из Тиволи (1136). Другим знаменитым геометром того времени был Самуил бен-Аббас, который написал по-арабски сочинение по геометрии по требованию султана Абу аль-Фатха Шах Газзи. Из других математиков 12 века упомянем Авраама ибн-Эзру (1093—1168). Особенно богат сочинениями по М. 13 век, когда усердно переводились на еврейский яз. сочинения арабские и греческие и снабжались комментариями. Иуда бен-Самуил Коген из Толедо (1238) приводит в своей энциклопедии, написанной им сначала по-арабски и им же переведенной на еврейский язык, отрывки из «Элементов» Евклида. В 1278 году «Элементы» были переведены полностью с арабского, по-видимому Моисеем ибн-Тиббоном, а Якову бен-Махиру приписывают перевод книг Гипсикла (Шорашим или Иесодот). Переведены были и комментарии к нему Аль-Фараби и ибн-Гайтама к предисловию к книге X. Перевод этот приписывают Калонимосу бен-Калонимос, которому приписывают также перевод комментария Ибн-Гайтама к введению книги I. Во многих библиотеках имеются манускрипты другого комментария ученика Якова бен-Махира, Аббы Мари, к введению в I кн., Леви б.-Гершона о теоремах кн. I, III, IV и V. Один переводный комментарий принадлежит Аврааму бен-Соломону Ярхи. Иосиф Дельмедиго сообщает о еврейском переводе Илии Мизрахи. «Дата» Евклида с арабской версии Хунайна ибн-Исхака переведены Яковом б.-Махиром под названием «Сефер га-Маттана». Произведения Евклида появились впервые в еврейском переводе Авраама бен-Иосифа Менца с примечаниями Меира из Фюрта под названием «Решит Лиммудим гу Сефер Иклидес» (Берлин, 1795). 5 лет спустя появился новый перевод первых 6 книг «Элементов» Евклида, сделанный Барухом Шиком (Гаага, 1780), а в 1875 г. были напечатаны в Житомире 11 и 12 книги. Среди переводов, сделанных в 13 веке, следует отметить труд александрийского ученого Менелая о сферических фигурах в переводе Иакова бен-Махира; Калонимос дважды перевел Архимеда «Об измерении длины окружности» и «Исследование коноидов и сфероидов» под названиями: «Бе-Каддур у-бе-Ицтаввонот» и «Сефер Архимедес бе-Мешихат га-Иггула». Ему же принадлежит и «Сефер Мешалим бе-Тишборет» — сборник алгебраических задач, «Сефер га-Темуна га-Хиттухит», затем перев. труда Табита ибн-Курры по геометрии под названием Аль-Шакль аль-Катта, «Маамар бе-Ицтаввонот ве-бе-Хиддудим» — о цилиндрах и конусах Абу аль-Касима Asbagh или Асба бен-Могаммеда. Богат 15 век серьезными сочинениями по алгебре и геометрии. К тому времени относится трактат Мордехая Коматяно, учителя Илии Мизрахи, в двух частях, об арифметике, алгебре и геометрии, под названием «Мелехет га-Миспар», перевод Мордехая бен-Авраама Финци «Тахбулат га-Миспар», труд по алгебре Абу Камиль Шуии и по геометрии под названием «Хохмат га-Медида». Наиболее выдающимся еврейским математиком 16-го века был известный летописец Давид Ганз (Ганс), которому принадлежат «Маор га-Катан», «Мигдал Давид» и «Проздор». Из математиков 17 в. наибольшей известностью пользовался Иосиф Дельмедиго, давший в своем труде «Босмат бат Шеломо» общий обзор геометрии; некоторые главы его «Маян Ганним» (а также «Elim») посвящены тригонометрии и алгебре. Известному талмудическому корифею второй половины 18 века, виленскому гаону р. Илии, принадлежат несколько трактатов по тригонометрии, геометрии, алгебре и астрономии.

В нижеследующем списке помещены евр. математики и астрономы в алфавитном порядке: Авраам де Бальмес (нач. 16 в.); Авраам ибн-Эзра (1093—1168); Авраам б.-Хия (1130); Авраам из Толедо (1278); Авраам б.-Самуил Закуто (конца 15 и нач. 16 в.); Andruzagar ben Zadi Faruch; Augustinius Ricius (1521); Барух из Шклова; Барух б.-Соломон б.-Иоаб (1457); Бианкино (15 в.); Боне (Бонет) де Латтес (1506); Вильям Раймунд де Монкада (15 в.); Давид Ганз (Ганс) (ум. в 1613 г.); Давид Клонимос б.-Яков (1464); Давид ибн-Нахмиас; Давид Нието (ум. в 1728 г.); Даян Хасан (972); [Зебулон Пинето (1872)]; Израиль Lyons (ум. в 1775 г.); Израиль из Замостья (ум. в 1772 г.); Илия Мизрахи (ум. в 1526 г.); Исаак бен-Аарон (1368); Исаак Абу аль-Хаир б.-Самуил (1340); Исаак б.-Барух Албалиа (1035—94); Исаак ибн-аль-Хадиб (1370); Исаак б.-Иосиф Израэли (1310—1330); Исаак б.-Меир Спира; Исаак б.-Моисей Эфоди (Профиат Дуран; 1392—1403); Исаак ибн-Сид (1252); Иеремия Коген (1486); Иосиф б.-Израэли б.-Исаак (ум. в 1331 г.); Иосиф б.-Моисей ибн-Ваккар; Иосиф ибн-Нахмиас (1300—1330); Иосиф Парси; Иосиф Тайтацак (ок. 1520 г.); Иосиф б.-Элеазар (14 в.); Иуда ибн-Верга (1457); Иуда б.-Израэли (1339); Иуда га-Леви (1140); Иуда б.-Моисей Коген; Иуда б.-Ракуфиал (раньше 1130 г.); Иуда б.-Самуил Шалом; Иуда б.-Соломон Koген (1247); Иуда Фариссоль (1499); Калеб Афендопуло (15 в.); Калонимос б.-Давид из Неаполя (1528); Калонимос б.-Калонимос; Леви б.-Авраам б.-Хаим (1299—1316); Леви б.-Гершон; Маймон из Монпелье; Маноах б.-Шемария (ум. в 1612 г.); Машалла (754—813); Маттитиа Делакрут (16 в.); Меир Неаймарк (1703); Меир Спира; Менахем Цион Порто (1636—40); Мешуллам Калонимос; Мордехай Коматьяно (1460—1485); Мордехай Финци (1440—1446); Моисей б.-Авраам (Mismes); Моисей Алмоснино; Моисей б.-Илия Галено (16 в.); Моисей б.-Иуда Голи; Моисей Хандали; Моисей Иссерлес (ум. в 1573 г.); Моисей ибн-Тиббон (1244—1274); Натан б.-Элиезер (1279—1283); Рабб бар Леви (9—10 в.); Рафаил Гановер (1734); Сагль аль-Табари (800); Самуил Абулафия (1278); Самуил ибн-Аббас (1163); Самуил га-Леви (1280—1284); Самуил б.-Иуда из Марселя (1331); Синд б.-Али (829—833); Соломон Авигдор б.-Авраам (1399); Соломон Давид из Родоса (14 в.); Соломон Эзоби (1633); Соломон б.-Моисей Melgueil (1250); Соломон ибн-Патер Коген (1322); Соломон Шалом б.-Моисей (1441—86); Тобиаш Коген (1708); Хаим Лискер (1612—1636); Хананеель б.-Хушиель (11 в.); Шалон б.-Иосиф (1450—1460); Шалом б.-Соломон Иерушалми (15 в.); Шемет б.-Исаак б.-Геринди (1320); Эммануил б.-Яков (1346—65); Эфраим Мизрахи Яков б.-Давид (1361); Яков Карси (1376); Яков б.-Махир (13 в.); Яков б.-Тарик. В нижеследующий список внесены сочинения по М., вышедшие на еврейском языке: אקלידם‎ — новый перевод Евклида Баруха Шика, Гаага, 1780. אקלידם‎ — об XI и XII книгах «Элементов», Давида Фризенгаузена, Житомир, 1875. אילם‎ — трактаты об арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии Иосифа Дельмедиго, Амстерд., 1629. אנפאנגםגדינרע‎ — арифметика на жаргоне Ф. Гурвица, Амстердам, 1791. בדודי המרות‎ — о геометрических теоремах в Талмуде, Тобиаса Гурвица, Прага, 1807. בדיתאבדהם‎ — арифметика по Илии Мизрахи и нееврейским источникам, Авраама Нидерлендера, Прага, 1609 (?). רדבי ההשבון‎ — арифметика Иехиеля Михаила Эпштейна, Вильна, 1836. המםפד חבמת‎ — арифметика Моисея Хаима Айзенштата, Дигернфурт, 1712. חבמת המםפד‎ — арифметика и алгебра Нахмана Гирша Линдера из Дубно, Варшава, 1855. חבמת השעדים‎ — арифметика. Перевод с французского Якова Эйхенбаума, Варшава, 1857. יריעת חחשבון‎ — арифметика на жаргоне Арии Лейба Шамеса, Амстердам, 1690. השעודים ידיעת‎ — геометрия Гавриила Иуды Лихтенфельда, Варшава, 1865. יםוד עולם‎ — геометрические теоремы Баруха Шика, Берлин, 1877. יםודי ח׳ השעוד‎ — Энциклопедия М. Х. З. Слонимского, Житомир, 1865. בליל החשבון‎ — алгебра Д. Фризенгаузена, Берлин, 1797 (Жолкиев, 1835). לוחות המגבילים‎ — логарифмы Д. Фризенгаузена, Кенигсберг, 1854. מבחד החשבון‎ — арифметика Letableau Варшава, 1865 (ib., 1875). םוםדות תבל‎ — доказательство 11 теорем Евклида Давида Фризенгаузена, Вена, 1820. מלאבת החשבון‎ — арифметика Моисея Самуила Неймана, Вена, 1831. מלאבת מחשבת‎ — арифметика и алгебра Илии бен-Гершон из Пинчова, Жолкиев, 1740. מחשבת מלאבת‎ — в 2-х частях: 1) עיד חשבון‎ — арифметика и алгебра, 2) בידודי מדות‎ — геометрия Гершона Элиаса, Берлин, 1765 (Франкф.-на-О., 1766; Острог, 1806). מלאבת מחשבת‎ — арифметика на жаргоне Гольденберга, Бердичев, 1823 (Судилков, 1834). מלאבת מחשבת‎ — арифметика и алгебра на еврейском языке и на жаргоне Моисея Зераха Эйдлица, Прага, 1775 (только по-еврейски, Жолкиев, 1837, 1845). מלאבת מחשבת החרש‎ — 3 тома, Шалом Бленкера, Бердичев, 1834. מלאבת המםפד‎ — арифметика, алгебра и геометрия Илии Мизрахи, Константинополь, 1534. אלגיבדא החדשה מפתח‎ — алгебра Ашера Аншеля Вормса, Оффенбах, 1722. משנת המדות‎ — геометрия, издание Штейншнейдера, Берлин, 1864 (с немецким переводом и примечаниями Германа Шапиры, Лейпциг, 1880). נאוה קודש‎ — геометрия и тригонометрия Симона Waltsch, Берлин, 1786. לםוחד עובד‎ — арифметика Менахема Циона Порто, Венеция, 1627. עומק הלבה‎ — o математич. теоремах в Талмуде Якова Коппеля, Краков, 1598 (Амстердам, 1710). פדפדאות לחבמה‎ — рассуждение о геометрии Коппеля Шахерлеса, Вена, 1814. צפנת פענח‎ — критический разбор трудов Х. З. Слонимского, Г. И. Лихтенфельд, Варшава, 1874. צפנת פענח‎ — арифметика и алгебра Иосифа Шифферса, Вильна — Гродно, 1827. קנה המדה‎ — тригонометрия Баруха Шика, Прага, 1784. קצוד מלאבת מחשבת‎ — арифметика, Вильна, 1830. דאשית למודים‎ — комментарий к «элемеатам» Авр. Иосифа Менца, Берлин, 1775. שבילי רדקיע‎ — o календаре, арифметике и геометрии Элии Гехима, Варшава, 1863. אחר שני םפדים בבדך‎ — логарифмы Пинето, перев. Рабиновича, СПб., 1872. — Ср.: Poggendorff, Handwörterb., Ι, 458; Zuckermann. Das Mathematische im Talmud, в Jahresbericht der Fränkelschen Stiftung, 1878; Eduard Mahler, Die Irrationalitäten der Rabbinen, в Zeitschrift für Mathematik, 1884; idem, Zur talmudischen Mathematik, ib., 1886; Gurland, Calendar, VI, 112—118; Steinschneider, Jewish literatur, passim; id., Die Mathematik bei d. Juden в Bibliotheca Mathematica, 1890 и в Monatsschrift, 1906; idem, Hebr. Uebers.; idem, Die arabische Literatur der Juden; Jew. Enc. passim.

Из числа известнейших математиков в 19 в. должны быть упомянуты: в Германии — М. Абрагам (М. теория электричества), Арнольд, Борхардт, Wälsch, Гамбургер, Гензель (продолжатель исследований Кронекера), Гурвич (автор выдающихся трудов в различных областях М.), Jordan, Георг Кантор (один из творцов учения о многообразиях; см.), Мориц Кантор (историк М.; см.), Эйзенштейн, Hirsch Meyer, Jakobi, Jolles (электричество), König (алгебра), Königsberger (трансформация гиперэллиптических функций), Kronecker, Ландау (теория чисел), Landsberg (алгебраические [Абеля] функции, Липшитц (чистая и прикладная М.), Лондон (геометрия), Минковский, Noether (алгебра и функции Абеля), Паш (критика принципов М., важные геометрич. исследования в области о комплексах), Pringsheim (новейшая теория функций), Розанес, Rosenhain. Saalschütz, Schlesinger, Schönfies (геометрия), Фукс, Шварцшильд (директор обсерватории в Геттингене, матем. астрономия), Weingarten, Woliskehl (теория чисел). Из итальянских математиков наиболее выдающимися являются: Вольтефра (математич. физикa), Castelnuovo, Беппо Леви, Леви-Чивита, Лориа, Segre, Фано, Enziquez, Jung. В России: Х. И . Гохман, Каган, Липкин, Х. З. Слонимский (изобретатель счетной машины), Шатуновский, Г. Шапиро (проф. Гейдельбергского университета). Во Франции: Hadamard (теорема Hadam.), Halphen, Maurice Lévy (математ. физика, бывший председатель института). Англия: James, Joseph Sylvester [J. E., VIII, 375—378 с доп.].

4.