Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/56

Согласно установленнымъ такимъ образомъ опредѣленiямъ, для любыхъ двухъ цѣлыхъ чиселъ $\alpha$ и $\beta$ остается въ силѣ перемѣстительный законъ

$\alpha \beta =\beta \alpha$;

(6)

опредѣленiя же (1)—(5) могутъ быть выражены следующимъ правиломъ:

Если одинъ изъ двухъ сомножителей обращается въ нуль, то и произведенiе равно нулю.

Произведенiе двухъ положительныхъ или двухъ отрицательныхъ чиселъ есть число положительное, произведенiе положительнаго числа на отрицательное есть число отрицательное.

Абсолютная величина произведенiя двухъ сомножителей есть произведенiе абсолютныхъ величинъ сомножителей.

Законъ сочетательный для умноженiя гласитъ:

$(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma )=\beta (\alpha \gamma )$,

что не трудно вывести изъ того же закона для положительныхъ чиселъ и изъ соотношенiя (1), если перебрать всѣ комбинацiи знаковъ, которыя здѣсь возможны. Вмѣстѣ съ тѣмъ доказывается и общее предложенiе относительно произведенiя какого угодно числа сомножителей (§ 8),

$\mu =\alpha \beta \gamma ....\nu$,

согласно которому это произведенiе можно получить, перемножая произвольные два сомножителя, умножая затѣмъ полученное произведенiе на третьяго множителя, и т. д.; результатъ не зависитъ отъ порядка, въ которомъ ведется это вычисленiе ^[1].

2. Въ случаѣ, если между сомножителями имѣются отрицательныя числа, можно сделать слѣдующiя заключенiя относительно знака всего произведенiя.

Чтобы определить знакъ произведенiя, перемножимъ сначала всѣхъ положительныхъ сомножителей; если остается только одинъ отрицательный множитель, то произведенiе имѣетъ, согласно опредѣленiю (1), отрица-

остаться въ силѣ, то $(-a)b$ должно быть равно $b(-a)$ или по формулѣ (2) $-(ab)$. Точно также, если формула (3) должна остаться въ силѣ при отрицательномъ значенiи числа $b$, то

$(-a)(-b)=-(-ab)=ab$.

1. Данный въ § 8 выводъ основывается исключительно на сочетательномъ и перемѣстительномъ законахъ. Онъ остается поэтому въ силѣ, коль скоро остаются въ силѣ эти два закона.

Тот же текст в современной орфографии

Согласно установленным таким образом определениям, для любых двух целых чисел $\alpha$ и $\beta$ остаётся в силе переместительный закон

$\alpha \beta =\beta \alpha$;

(6)

определения же (1)—(5) могут быть выражены следующим правилом:

Если один из двух сомножителей обращается в нуль, то и произведение равно нулю.

Произведение двух положительных или двух отрицательных чисел есть число положительное, произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.

Абсолютная величина произведения двух сомножителей есть произведение абсолютных величин сомножителей.

Закон сочетательный для умножения гласит:

$(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma )=\beta (\alpha \gamma )$,

что нетрудно вывести из того же закона для положительных чисел и из соотношения (1), если перебрать все комбинации знаков, которые здесь возможны. Вместе с тем доказывается и общее предложение относительно произведения какого угодно числа сомножителей (§ 8),

$\mu =\alpha \beta \gamma ....\nu$,

согласно которому это произведение можно получить, перемножая произвольные два сомножителя, умножая затем полученное произведение на третьего множителя, и т. д.; результат не зависит от порядка, в котором ведётся это вычисление ^[1].

2. В случае, если между сомножителями имеются отрицательные числа, можно сделать следующие заключения относительно знака всего произведения.

Чтобы определить знак произведения, перемножим сначала всех положительных сомножителей; если остается только один отрицательный множитель, то произведение имеет, согласно определению (1), отрица-

остаться в силе, то $(-a)b$ должно быть равно $b(-a)$ или по формуле (2) $-(ab)$. Точно также, если формула (3) должна остаться в силе при отрицательном значении числа $b$, то

$(-a)(-b)=-(-ab)=ab$.

1. Данный в § 8 вывод основывается исключительно на сочетательном и переместительном законах. Он остаётся поэтому в силе, коль скоро остаются в силе эти два закона.