Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/49

Но чтобы мѣсто, занимаемое цифрой, могло служить для обозначенiя степени, необходимо также указать, какiя степени вовсе отсутствуютъ; для этого служитъ знакъ $0$ (нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово „цифра“ первоначально обозначало только $0$, и только позже это названiе было распространено на остальные знаки, выражающiе числа). Сообразно съ этимъ въ формулѣ (7) подъ $a,b,c...,m,n$ нужно разумѣть одинъ изъ знаковъ:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Если при нѣкоторомъ вычисленiи число единицъ какого-либо разряда превышаетъ 9, то нужно пользоваться формулой

$(a+10).10^{r}=10^{r+1}+a10^{r}$.

Такимъ образомъ правило умноженiя чиселъ въ десятичной системѣ основывается, какъ мы видимъ, на предложенiи § 9, 2.

При возвышенiи въ степень не имѣютъ мѣста ни перемѣстительный ни сочетательный законы, потому что $a^{b}$ имѣетъ другое значенiе, нежели $b^{a}$ (напр. $a^{1}=a$, $1^{a}=1$); точно такъ же $a^{(m^{r})}$ имѣетъ не то значенiе, что ${(a^{m})}^{r}$ (напр. $a^{(1^{r})}=a$, ${(a^{1})}^{r}=a^{r}$). Вслѣдствiе этой именно причины не образуютъ новыхъ дѣйствiй въ томъ порядкѣ идей, въ какомъ умноженiе составлено изъ сложенiя, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основанiе и показатель одно и то же число. Законы такой операцiи были бы очень сложны, а нужды практической жизни и науки не дѣлаютъ такого обобщенiя необходимымъ.

Тот же текст в современной орфографии

Но чтобы место, занимаемое цифрой, могло служить для обозначения степени, необходимо также указать, какие степени вовсе отсутствуют; для этого служит знак $0$ (нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово «цифра» первоначально обозначало только $0$, и только позже это название было распространено на остальные знаки, выражающие числа). Сообразно с этим в формуле (7) под $a,b,c...,m,n$ нужно разуметь один из знаков:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Если при некотором вычислении число единиц какого-либо разряда превышает 9, то нужно пользоваться формулой

$(a+10).10^{r}=10^{r+1}+a10^{r}$.

Таким образом правило умножения чисел в десятичной системе основывается, как мы видим, на предложении § 9, 2.

При возвышении в степень не имеют места ни переместительный, ни сочетательный законы, потому что $a^{b}$ имеет другое значение, нежели $b^{a}$ (напр. $a^{1}=a$, $1^{a}=1$); точно так же $a^{(m^{r})}$ имеет не то значение, что ${(a^{m})}^{r}$ (напр. $a^{(1^{r})}=a$, ${(a^{1})}^{r}=a^{r}$). Вследствие этой именно причины не образуют новых действий в том порядке идей, в каком умножение составлено из сложения, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основание и показатель одно и то же число. Законы такой операции были бы очень сложны, а ну́жды практической жизни и науки не делают такого обобщения необходимым.

---

§ 11. Вычитанiе. Отрицательныя числа.

1. Если мы изъ конечнаго комплекса $A$ исключимъ его часть $B$, то остается конечный комплексъ $A-B$, число котораго $c$ вполнѣ опредѣляется числами $a$ и $b$ комплексовъ $A$ и $B$. Мы положимъ

$c=a-b$,

(1)

и будемъ называть $a-b$ ($a$ минусъ $b$) разностью чиселъ $a$ и $b$; дѣйствiе же, посредствомъ котораго эта разность находится, вычитанiемъ; число $a$ называется уменьшаемымъ, число $b$ вычитаемымъ. Такъ какъ комплексъ $B$ представляетъ собой часть ^[1] комплекса $A$, то число $b$ должно быть меньше числа $a$, т. е. уменьшаемое должно быть больше вычитаемаго.

Чтобы совершать вычитанiе въ десятичной системѣ достаточно за-

1. Авторъ часто употребляетъ слово „часть“ вмѣсто „правильная часть “(§ 2, 5). Впрочемъ, это нигдѣ не вызываетъ двусмысленности.

Тот же текст в современной орфографии

§ 11. Вычитание. Отрицательные числа.

1. Если мы из конечного комплекса $A$ исключим его часть $B$, то остаётся конечный комплекс $A-B$, число которого $c$ вполне определяется числами $a$ и $b$ комплексов $A$ и $B$. Мы положим

$c=a-b$,

(1)

и будем называть $a-b$ ($a$ минус $b$) разностью чисел $a$ и $b$; действие же, посредством которого эта разность находится, вычитанием; число $a$ называется уменьшаемым, число $b$ вычитаемым. Так как комплекс $B$ представляет собой часть ^[1] комплекса $A$, то число $b$ должно быть меньше числа $a$, т. е. уменьшаемое должно быть больше вычитаемого.

Чтобы совершать вычитание в десятичной системе достаточно за-

1. Автор часто употребляет слово «часть» вместо «правильная часть» (§ 2, 5). Впрочем, это нигде не вызывает двусмысленности.