Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/48

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно изъ опредѣленiя, заключается въ слѣдующемъ:

2. Чтобы перемножить двѣ степени одного и того же основанiя, достаточно сложить показателей; въ символахъ:

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}$.

(4)

Справедливость этого равенства вытекаетъ изъ того, что справа и слѣва мы имѣемъ $m+n$ множителей, равныхъ $a$. Это предложенiе при помощи индукцiи легко обобщается на произвольное число множителей.

$a^{m}.a^{n}....a^{q}=a^{m+n+....+q}$,

(5)

каковы бы ни были числа $m,n,....q$ и каково бы ни было число ихъ $r$.

3. Если въ равенствѣ (5) всѣ показатели равны между собой, то оно выражаетъ следующую вторую теорему о степеняхъ:

Чтобы возвысить степень въ новую степень, достаточно перемножить показателей, т. е.:

$\left(a^{m}\right)^{r}=a^{mr}$.

4. Чтобы возвысить въ степень произведенiе нѣсколькихъ сомножителей, можно возвысить въ эту степень каждый изъ сомножителей въ отдельности и полученныя произведенiя перемножить:

$\left(abc....\right)^{n}=a^{n}b^{n}c^{n}....$

Если здѣсь вновь будемъ считать всѣ основанiя $a,b,c....$ равными между собой, то мы, въ силу соотношенiя (5), вновь получимъ предложеніе 3.

5. Если число $a$ больше $1$, то $a^{n}$ тѣмъ больше, чѣмъ больше показатель $n$; можно также выбрать число $n$ настолько большимъ, чтобы $a^{n}$ было больше любого заданнаго числа $c$. Въ этомъ легко убѣдиться индуктивнымъ путемъ. Въ самомъ дѣлѣ, утвержденiе справедливо, если $c=1$, потому что даже $a^{1}$ уже больше $1$.

Если же $a^{n}>c$, то $a^{n+1}>ac>c+1$. Такимъ образомъ, если наше утвержденiе справедливо для нѣкотораго значенiя $c$, то оно справедливо также для $c+1$.

Вмѣстѣ съ тѣмъ, если $a^{n}>c$ для нѣкотораго значенiя $m$ показателя $n$, то тѣмъ болѣе $a^{n}>c$, если $n$ имѣетъ значенiе большее, нежели $m$.

6. Въ основанiи нашей десятичной системы счисленiя лежатъ степени числа $10$. Число $10^{n}$ изображается $1$ съ $n$ нулями и образуетъ единицу n-го разряда. Число, изображаемое $r$ цифрами $a,b,c....m,n$, имѣетъ значенiе

$a10^{r}+b10^{r-1}+c10^{r-2}+....+m10+n$.

(7)

Тот же текст в современной орфографии

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно из определения, заключается в следующем:

2. Чтобы перемножить две степени одного и того же основания, достаточно сложить показатели; в символах:

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}$.

(4)

Справедливость этого равенства вытекает из того, что справа и слева мы имеем $m+n$ множителей, равных $a$. Это предложение при помощи индукции легко обобщается на произвольное число множителей.

$a^{m}.a^{n}....a^{q}=a^{m+n+....+q}$,

(5)

каковы бы ни были числа $m,n,....q$ и каково бы ни было число их $r$.

3. Если в равенстве (5) все показатели равны между собой, то оно выражает следующую вторую теорему о степенях:

Чтобы возвысить степень в новую степень, достаточно перемножить показатели, т. е.:

$\left(a^{m}\right)^{r}=a^{mr}$.

4. Чтобы возвысить в степень произведение нескольких сомножителей, можно возвысить в эту степень каждый из сомножителей в отдельности и полученные произведения перемножить:

$\left(abc....\right)^{n}=a^{n}b^{n}c^{n}....$

Если здесь вновь будем считать все основания $a,b,c....$ равными между собой, то мы, в силу соотношения (5), вновь получим предложение 3.

5. Если число $a$ больше $1$, то $a^{n}$ тем больше, чем больше показатель $n$; можно также выбрать число $n$ настолько большим, чтобы $a^{n}$ было больше любого заданного числа $c$. В этом легко убедиться индуктивным путем. В самом деле, утверждение справедливо, если $c=1$, потому что даже $a^{1}$ уже больше $1$.

Если же $a^{n}>c$, то $a^{n+1}>ac>c+1$. Таким образом, если наше утверждение справедливо для некоторого значения $c$, то оно справедливо также для $c+1$.

Вместе с тем, если $a^{n}>c$ для некоторого значения $m$ показателя $n$, то тем более $a^{n}>c$, если $n$ имеет значение большее, нежели $m$.

6. В основании нашей десятичной системы счисления лежат степени числа $10$. Число $10^{n}$ изображается $1$ с $n$ нулями и образует единицу n-го разряда. Число, изображаемое $r$ цифрами $a,b,c....m,n$, имеет значение

$a10^{r}+b10^{r-1}+c10^{r-2}+....+m10+n$.

(7)