Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/35

Комплексъ $E_{a}$ представляетъ собой кардинальное (количественное) число. Онъ является наиболѣе удобнымъ представителемъ категорiи, содержащей всѣ комплексы мощности $a$; имъ и пользуются, большей частью, для этой цѣли. Каждый конечный комплексъ $A$ можетъ быть однозначно сопряженъ съ однимъ изъ комплексовъ $E_{a}$. Самое производство этого сопряженiя называется счетомъ^[1]. Вмѣстѣ съ тѣмъ мы приходимъ къ заключенiю, что результатъ счета элементовъ комплекса не зависитъ отъ порядка, въ которомъ мы производимъ отсчет ^[2]. Для производства счета элементы комплекса $N$ получаютъ опредѣленныя названiя и обозначаются особыми знаками, между которыми основными являются

$1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Такъ какъ при счетѣ комплексовъ, содержащихъ много элементовъ, запасъ названiй и знаковъ для чиселъ скоро бы истощился, то пришлось прибѣгнуть къ особому способу производства счета; способъ этотъ заключается въ томъ, что извѣстныя группы чиселъ соединяются въ новыя группы, и производится счетъ не отдѣльныхъ единицъ, а этихъ группъ.

Это сказывается уже въ языкѣ въ образованiи словъ: десять, двадцать, тридцать, сто, двѣсти, триста и т. п. Но еще совершеннѣе наша десятичная система счисленiя. Въ этой системѣ, когда мы пишемъ какую нибудь цифру $a$, необходимо чѣмъ-нибудь обозначить, какiя единицы она выражаетъ. Когда искусство счета находилось еще въ первобытномъ состоянiи, то это достигалось тѣмъ, что цифры, смотря по значенiю выражаемыхъ ими единицъ, помещались въ особыя рубрики счетной таблицы или счетной доски (Abacus). По сравненiю съ этимъ было огромнымъ шагомъ впередъ, когда пришли къ мысли обозначать особымъ знакомъ, нулемъ, „$0$“, если какая-либо рубрика остается незанятой, т. е. не содержитъ вовсе ни одной единицы. Благодаря этой идеѣ, весь аппаратъ оказался вовсе излишнимъ, такъ какъ мѣсто, занимаемое цифрой, оказалось достаточнымъ для обозначенiя единицъ, которыя она выражаетъ. Такова простая мысль, служащая основанiемъ совершенной системы счисленiя, которой мы теперь пользуемся.

Это удивительно простое творенiе человѣческаго духа, влiянiе котораго на все развитiе западной культуры, какъ правильно замѣчаетъ Кронекеръ (Kronecker), даже не можетъ быть достаточно оцѣнено, возникло,

1. Если намъ нужно сосчитать элементы комплекса $A(a,b,c,d)$, то мы относимъ элeмeнтy $a$ число $1$, элементу $b$ число $2$, элементу $c$ число $3$ и элементу $d$ число $4$. Операцiя закончена и заключается въ томъ, что комплексъ $A$ однозначно сопряженъ съ комплексомъ $E_{4}$.
2. Потому что каждый комплексъ, какъ было показано выше, можетъ быть связанъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ только съ однимъ изъ комплексовъ $E_{a}$.

Тот же текст в современной орфографии

Комплекс $E_{a}$ представляет собой кардинальное (количественное) число. Он является наиболее удобным представителем категории, содержащей все комплексы мощности $a$; им и пользуются, большей частью, для этой цели. Каждый конечный комплекс $A$ может быть однозначно сопряжён с одним из комплексов $E_{a}$. Само производство этого сопряжения называется счётом^[1]. Вместе с тем мы приходим к заключению, что результат счёта элементов комплекса не зависит от порядка, в котором мы производим отсчёт^[2]. Для производства счёта элементы комплекса $N$ получают определённые названия и обозначаются особыми знаками, между которыми основными являются

$1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Так как при счёте комплексов, содержащих много элементов, запас названий и знаков для чисел скоро бы истощился, то пришлось прибегнуть к особому способу производства счёта; способ этот заключается в том, что известные группы чисел соединяются в новые группы, и производится счёт не отдельных единиц, а этих групп.

Это сказывается уже в языке в образовании слов: десять, двадцать, тридцать, сто, двести, триста и т. п. Но ещё совершеннее наша десятичная система счисления. В этой системе, когда мы пишем какую-нибудь цифру $a$, необходимо чем-нибудь обозначить, какие единицы она выражает. Когда искусство счёта находилось ещё в первобытном состоянии, то это достигалось тем, что цифры, смотря по значению выражаемых ими единиц, помещались в особые рубрики счётной таблицы или счётной доски (Abacus). По сравнению с этим было огромным шагом вперёд, когда пришли к мысли обозначать особым знаком, нулём, «$0$», если какая-либо рубрика остается незанятой, т. е. не содержит вовсе ни одной единицы. Благодаря этой идее, весь аппарат оказался вовсе излишним, так как место, занимаемое цифрой, оказалось достаточным для обозначения единиц, которые она выражает. Такова простая мысль, служащая основанием совершенной системы счисления, которой мы теперь пользуемся.

Это удивительно простое творение человеческого духа, влияние которого на всё развитие западной культуры, как правильно замечает Кронекер (Kronecker), даже не может быть достаточно оценено, возникло,

1. Если нам нужно сосчитать элементы комплекса $A(a,b,c,d)$, то мы относим элeмeнтy $a$ число $1$, элементу $b$ число $2$, элементу $c$ число $3$ и элементу $d$ число $4$. Операция закончена и заключается в том, что комплекс $A$ однозначно сопряжён с комплексом $E_{4}$.
2. Потому что каждый комплекс, как было показано выше, может быть связан однозначным соответствием только с одним из комплексов $E_{a}$.