Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/34

котораго опредѣленнаго значенiя $a$, и пусть $z_{1}$, будетъ самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a}$. Каждый комплексъ $S_{a+1}$ получается изъ нѣкотораго комплекса $S_{a}$ путемъ присоединенiя одного новаго числа $z_{0}$. Если теперь $z_{0}<z_{1}$, то $z_{0}$ представляетъ собою самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$; если $z_{0}>z_{2}$, то $z_{1}$ есть самое меньшее, $z_{0}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$; если, наконецъ, $z_{1}<z_{0}<z_{2}$, то $z_{1}$ есть самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$. Въ силу совершенной индукцiи, предложенiе такимъ образомъ доказано.

Тот же текст в современной орфографии

которого определённого значения $a$, и пусть $z_{1}$, будет самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a}$. Каждый комплекс $S_{a+1}$ получается из некоторого комплекса $S_{a}$ путём присоединения одного нового числа $z_{0}$. Если теперь $z_{0}<z_{1}$, то $z_{0}$ представляет собою самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$; если $z_{0}>z_{2}$, то $z_{1}$ есть самое меньшее, $z_{0}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$; если, наконец, $z_{1}<z_{0}<z_{2}$, то $z_{1}$ есть самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$. В силу совершенной индукции, предложение таким образом доказано.

---

§ 6. Кардинальныя числа. Системы счисленiя.

Если мы выключимъ изъ натуральнаго ряда $N$ комплексъ $N_{a}$, то останутся, кромѣ числа $a$, только тѣ числа, которыя меньше $a$, ибо каждое число, большее, нежели $a$, принадлежитъ комплексу $N_{a}$.

Этотъ комплексъ мы будемъ обозначать черезъ $E_{a}$, такъ что

$E_{a}=N-N_{a}$.

Комплексъ $E_{a}$ состоитъ, слѣдовательно, изъ всѣхъ чиселъ $n$, удовлетворяющiхъ условiю

$n\leqslant a$,

или — въ словахъ — изъ всѣхъ чиселъ, которыя равны или меньше числа $a$.

1. Комплексъ $E_{a+1}$ получается изъ комплекса $E_{a}$ путемъ присоединенiя къ послѣднему числа $a+1$.

Въ самомъ дѣлѣ, изъ комплекса $N_{a}$ мы получаемъ комплексъ $N_{a+1}$, выключая изъ него число $a+1$; поэтому, чтобы изъ комплекса $N-N_{a}$ получить комплексъ $N-N_{a+1}$, къ нему нужно только присоединить число $a+1$.

2. Число $E_{a}$ имѣетъ мощность $a$.

Доказательство ведется индуктивнымъ путемъ. Предложенiе справедливо, если $a=1$, потому что комплексъ $E_{1}$ содержитъ только одно число $1$. Если же предложенiе справедливо для комплекса $E_{a}$, то, въ силу предыдущаго предложенiя, оно справедливо также для комплекса $E_{a+1}$.

Итакъ, $E_{a}$ есть конечный комплексъ, и если $b>a$, то комплексъ $E_{a}$ представляетъ собой правильную часть комплекса $E_{b}$, ибо комплексъ $N_{b}$ есть правильная часть комплекса $N_{a}$.

Если поэтому комплексы $A$ и $B$ суть представители натуральныхъ чиселъ $a$ и $b$, то комплексъ $A$, которому соотвѣтствуетъ меньшее число, можетъ быть приведенъ въ однозначное соотвѣтствiе съ правильною частью комплекса $B$; и обратно, если одинъ изъ двухъ конечныхъ комплексовъ можетъ быть приведенъ въ однозначное соотвѣтствiе съ правильною частью другого, то ему отвѣчаетъ меньшее число.

Тот же текст в современной орфографии

§ 6. Кардинальные числа. Системы счисления.

Если мы выключим из натурального ряда $N$ комплекс $N_{a}$, то останутся, кроме числа $a$, только те числа, которые меньше $a$, ибо каждое число, большее, нежели $a$, принадлежит комплексу $N_{a}$.

Этот комплекс мы будем обозначать через $E_{a}$, так что

$E_{a}=N-N_{a}$.

Комплекс $E_{a}$ состоит, следовательно, из всех чисел $n$, удовлетворяющих условию

$n\leqslant a$,

или — в словах — из всех чисел, которые равны или меньше числа $a$.

1. Комплекс $E_{a+1}$ получается из комплекса $E_{a}$ путём присоединения к последнему числа $a+1$.

В самом деле, из комплекса $N_{a}$ мы получаем комплекс $N_{a+1}$, выключая из него число $a+1$; поэтому, чтобы из комплекса $N-N_{a}$ получить комплекс $N-N_{a+1}$, к нему нужно только присоединить число $a+1$.

2. Число $E_{a}$ имеет мощность $a$.

Доказательство ведётся индуктивным путем. Предложение справедливо, если $a=1$, потому что комплекс $E_{1}$ содержит только одно число $1$. Если же предложение справедливо для комплекса $E_{a}$, то, в силу предыдущего предложения, оно справедливо также для комплекса $E_{a+1}$.

Итак, $E_{a}$ есть конечный комплекс, и если $b>a$, то комплекс $E_{a}$ представляет собой правильную часть комплекса $E_{b}$, ибо комплекс $N_{b}$ есть правильная часть комплекса $N_{a}$.

Если поэтому комплексы $A$ и $B$ суть представители натуральных чисел $a$ и $b$, то комплекс $A$, которому соответствует меньшее число, может быть приведён в однозначное соответствие с правильною частью комплекса $B$; и обратно, если один из двух конечных комплексов может быть приведён в однозначное соответствие с правильною частью другого, то ему отвечает меньшее число.