Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/27

Эта страница была вычитана

§2 это можно выразить слѣдующимъ образомъ:

Z_{a}=Z_{a+1}+(a+1)

^[1]

Основываясь на этомъ, легко доказать слѣдующее предложенiе.

7. Число $1$ не содержится въ комплексѣ $N_{1}$ . Обозначимъ черезъ $N'$ числовой комплексъ, который образуется изъ комплекса $N$ , если удалить изъ него число $1$ , т. е. положимъ $N'=N-1$ . Въ такомъ случаѣ комплексъ $N'$ удовлетворяетъ условiямъ α') и β') предыдущаго пункта при $a=1$ , и потому $N'$ представляетъ собой комплексъ $Z_{1}$ . Съ другой стороны, комплексъ $N'$ содержится во всякомъ комплексѣ $Z_{1}$ ; въ самомъ дѣлѣ, если къ какому-либо комплексу $Z_{1}$ присоединимъ число $1$ , то получимъ комплексъ $Z$ ; если бы поэтому существовалъ такой комплексъ $Z_{1}$ , въ которомъ не содержался бы комплексъ $N'$ , то присоединивъ къ нему $1$ , мы получили бы такой комплексъ $Z$ , въ которомъ не содержался бы комплексъ $N$ , — что противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда ^[2].

8. Если число $a$ не содержится въ комплексѣ $N_{a}$ , то число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{a+1}$ .

Въ самомъ дѣлѣ, если число $a$ не входитъ въ составъ комплекса $N_{a}$ , то оно не входитъ также въ составъ комплекса ${N_{a}}'=N_{a}-(a+1)$ ; поэтому комплексъ ${N_{a}}'$ удовлетворяетъ требованiямъ α'') и β''), a потому

↑ Прибавимъ къ этому еще слѣдующее: если какой-либо комплексъ $Z_{1}$ содержитъ число $1$ , то онъ представляетъ собой также комплексъ $Z$ ; если же въ немъ нѣтъ числа $1$ , то достаточно присоединить число $1$ , чтобы получить комплексъ $Z$ . Дѣйствительно, условiе α) пункта 4 выполняется присоединенiемъ числа $1$ , условiе же β), присущее и комплексу $Z_{1}$ , этимъ не нарушается, такъ какъ число $1+1$ имѣется и въ комплексѣ $Z_{1}$ . Въ обозначенiяхъ § 2 это можно выразить такъ:

$Z=Z_{1}+1$

(ибо, если $1$ входитъ въ составъ комплекса $Z_{1}$ , то комплексъ $Z_{1}+1$ совпадаетъ съ комплексомъ $Z_{1}$ )
↑ Пункты 7—9 въ первоначальной редакцiи содержали погрѣшность; вслѣдствiе этого авторъ опубликовалъ позже исправленный текстъ, съ котораго и сдѣланъ переводъ; исправленный текстъ, однако, изложенъ очень сжато, и мы считаемъ нужнымъ его пояснить.
Авторъ хочетъ прежде всего показать, что $N'$ есть комплексъ $Z_{1}$ , для этого ему нужно обнаружить, что, во первыхъ, въ составъ комплекса $N'$ входитъ число $1+1$ , во вторыхъ, если въ составъ комплекса $N'$ входитъ число $n$ , то въ его составъ входитъ число $n+1$ .

Въ составъ комплекса $N$ число $1$ входитъ; поэтому въ составъ его входитъ также и число $1+1$ (п. 4); такъ какъ изъ комплекса $N$ удалено только число $1,$ то число $1+1$ въ комплексѣ $N'$ осталось; первое требованiе, слѣдовательно, выполнено.

Обращаемся теперь ко второму требованiю; комплексъ $N$ этому требованiю удовлетворяетъ. Если бы въ составъ комплекса $N$ входило число $x$ , удовлетворяющее условію $x+1=1$ , то, устраняя изъ него число $1$ и сохраняя число $x$ , мы бы, ко-

Тот же текст в современной орфографии

§2 это можно выразить следующим образом:

Z_{a}=Z_{a+1}+(a+1)

^[1]

Основываясь на этом, легко доказать следующее предложение.

7. Число $1$ не содержится в комплексе $N_{1}$ . Обозначим через $N'$ числовой комплекс, который образуется из комплекса $N$ , если удалить из него число $1$ , т. е. положим $N'=N-1$ . В таком случае комплекс $N'$ удовлетворяет условиям α') и β') предыдущего пункта при $a=1$ , и потому $N'$ представляет собой комплекс $Z_{1}$ . С другой стороны, комплекс $N'$ содержится во всяком комплексе $Z_{1}$ ; в самом деле, если к какому-либо комплексу $Z_{1}$ присоединим число $1$ , то получим комплекс $Z$ ; если бы поэтому существовал такой комплекс $Z_{1}$ , в котором не содержался бы комплекс $N'$ , то присоединив к нему $1$ , мы получили бы такой комплекс $Z$ , в котором не содержался бы комплекс $N$ , — что противоречит определению натурального ряда ^[2].

8. Если число $a$ не содержится в комплексе $N_{a}$ , то число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{a+1}$ .

В самом деле, если число $a$ не входит в состав комплекса $N_{a}$ , то оно не входит также в состав комплекса ${N_{a}}'=N_{a}-(a+1)$ ; поэтому комплекс ${N_{a}}'$ удовлетворяет требованиям α'') и β''), a потому

↑ Прибавим к этому ещё следующее: если какой-либо комплекс $Z_{1}$ содержит число $1$ , то он представляет собой также комплекс $Z$ ; если же в нём нет числа $1$ , то достаточно присоединить число $1$ , чтобы получить комплекс $Z$ . Действительно, условие α) пункта 4 выполняется присоединением числа $1$ , условие же β), присущее и комплексу $Z_{1}$ , этим не нарушается, так как число $1+1$ имеется и в комплексе $Z_{1}$ . В обозначениях § 2 это можно выразить так:

$Z=Z_{1}+1$

(ибо, если $1$ входит в состав комплекса $Z_{1}$ , то комплекс $Z_{1}+1$ совпадает с комплексом $Z_{1}$ )
↑ Пункты 7—9 в первоначальной редакции содержали погрешность; вследствие этого автор опубликовал позже исправленный текст, с которого и сделан перевод; исправленный текст, однако, изложен очень сжато, и мы считаем нужным его пояснить.
Автор хочет прежде всего показать, что $N'$ есть комплекс $Z_{1}$ , для этого ему нужно обнаружить, что, во-первых, в состав комплекса $N'$ входит число $1+1$ , во-вторых, если в состав комплекса $N'$ входит число $n$ , то в его состав входит число $n+1$ .

В состав комплекса $N$ число $1$ входит; поэтому в состав его входит также и число $1+1$ (п. 4); так как из комплекса $N$ удалено только число $1,$ то число $1+1$ в комплексе $N'$ осталось; первое требование, следовательно, выполнено.

Обращаемся теперь ко второму требованию; комплекс $N$ этому требованию удовлетворяет. Если бы в состав комплекса $N$ входило число $x$ , удовлетворяющее условию $x+1=1$ , то, устраняя из него число $1$ и сохраняя число $x$ , мы бы, ко-

[1] Прибавимъ къ этому еще слѣдующее: если какой-либо комплексъ $Z_{1}$ содержитъ число $1$ , то онъ представляетъ собой также комплексъ $Z$ ; если же въ немъ нѣтъ числа $1$ , то достаточно присоединить число $1$ , чтобы получить комплексъ $Z$ . Дѣйствительно, условiе α) пункта 4 выполняется присоединенiемъ числа $1$ , условiе же β), присущее и комплексу $Z_{1}$ , этимъ не нарушается, такъ какъ число $1+1$ имѣется и въ комплексѣ $Z_{1}$ . Въ обозначенiяхъ § 2 это можно выразить такъ:

$Z=Z_{1}+1$

(ибо, если $1$ входитъ въ составъ комплекса $Z_{1}$ , то комплексъ $Z_{1}+1$ совпадаетъ съ комплексомъ $Z_{1}$ )

[p27old-2] Пункты 7—9 въ первоначальной редакцiи содержали погрѣшность; вслѣдствiе этого авторъ опубликовалъ позже исправленный текстъ, съ котораго и сдѣланъ переводъ; исправленный текстъ, однако, изложенъ очень сжато, и мы считаемъ нужнымъ его пояснить.
Авторъ хочетъ прежде всего показать, что $N'$ есть комплексъ $Z_{1}$ , для этого ему нужно обнаружить, что, во первыхъ, въ составъ комплекса $N'$ входитъ число $1+1$ , во вторыхъ, если въ составъ комплекса $N'$ входитъ число $n$ , то въ его составъ входитъ число $n+1$ .

Въ составъ комплекса $N$ число $1$ входитъ; поэтому въ составъ его входитъ также и число $1+1$ (п. 4); такъ какъ изъ комплекса $N$ удалено только число $1,$ то число $1+1$ въ комплексѣ $N'$ осталось; первое требованiе, слѣдовательно, выполнено.

Обращаемся теперь ко второму требованiю; комплексъ $N$ этому требованiю удовлетворяетъ. Если бы въ составъ комплекса $N$ входило число $x$ , удовлетворяющее условію $x+1=1$ , то, устраняя изъ него число $1$ и сохраняя число $x$ , мы бы, ко-

[3] Прибавим к этому ещё следующее: если какой-либо комплекс $Z_{1}$ содержит число $1$ , то он представляет собой также комплекс $Z$ ; если же в нём нет числа $1$ , то достаточно присоединить число $1$ , чтобы получить комплекс $Z$ . Действительно, условие α) пункта 4 выполняется присоединением числа $1$ , условие же β), присущее и комплексу $Z_{1}$ , этим не нарушается, так как число $1+1$ имеется и в комплексе $Z_{1}$ . В обозначениях § 2 это можно выразить так:

$Z=Z_{1}+1$

(ибо, если $1$ входит в состав комплекса $Z_{1}$ , то комплекс $Z_{1}+1$ совпадает с комплексом $Z_{1}$ )

[p27new-4] Пункты 7—9 в первоначальной редакции содержали погрешность; вследствие этого автор опубликовал позже исправленный текст, с которого и сделан перевод; исправленный текст, однако, изложен очень сжато, и мы считаем нужным его пояснить.
Автор хочет прежде всего показать, что $N'$ есть комплекс $Z_{1}$ , для этого ему нужно обнаружить, что, во-первых, в состав комплекса $N'$ входит число $1+1$ , во-вторых, если в состав комплекса $N'$ входит число $n$ , то в его состав входит число $n+1$ .

В состав комплекса $N$ число $1$ входит; поэтому в состав его входит также и число $1+1$ (п. 4); так как из комплекса $N$ удалено только число $1,$ то число $1+1$ в комплексе $N'$ осталось; первое требование, следовательно, выполнено.

Обращаемся теперь ко второму требованию; комплекс $N$ этому требованию удовлетворяет. Если бы в состав комплекса $N$ входило число $x$ , удовлетворяющее условию $x+1=1$ , то, устраняя из него число $1$ и сохраняя число $x$ , мы бы, ко-

[1]

[2]

[1]

[2]