Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/106

91 § 25 алгориемь, при помощи котораго можно отъ десятичной дроби .. /и пе- перейти къ одной и только одной дроби ./ .j , содержащей rfc же цифры и въ томъ же порядке, что и дробь „ /я , и кроме того еще одну при- прибавочную цифру справа. Предположимъ, что алгорнемъ этотъ имьегъ то свойство, что его можно применять последовательно неограниченное чи- число разъ. Съ однимъ такимъ алгориемомъ, а именно съ приближеннымъ вмчислешемъ квадратнаго корня изъ неполных ь квадратовъ, мы уже по- познакомились въ § 21. Подобный алгориемъ, или, точнее говоря, опреде- определяемый имъ рядъ цифръ съ запятой на определенном ь месте мы назы- ваемъ безконечной десятичной дробью 15). Каждой безконечной десятичной дроби можетъ быть отнесено не- некоторое число следующимъ образомъ. Пусть Л = 4,+ ю- A) где н >> 0, такъ что десятичная дробь А'п получается изъ дроби Лп, ес- если въ ней увеличить на одну единицу последнюю цифру (при этомъ, если эта последняя цифра равна 9, то пишут ь вместо нея нуль, а предпоследнюю цифру увеличиваютъ на одну единицу). Если къ дроби Лп приписать (н -- 1 )-ую цифру, то получимъ дробь А.х ¦ такъ что Отсюда следуетъ, что Л-Д,+1<Л+г А'п. B) Такимъ образомъ, все дроби __ {п, . / . t, . / , о,... порознь меньше дро- дроби А'п, а все дроби А'п, -l'n+l, -1'я,г, ¦¦¦ больше дроби Ап следова- следовательно, дроби Ап имеють верхнюю границу, а дроби А'п— нижнюю границу; обе эти границы должны необходимо совпадать, такъ какъ раз- разность А'п — --/„= Ю~н 'Фи достаточно большомъ п можетъ быть сде- сделана сколь угодно малой. Число а, составляющее общую границу этихь двухъ числовыхъ комплексовъ, называется численнымъ значешемъ безконечной десятичной дроби. Число а заключено между двумя дробями каждой пары Ап и А'п; эти последшя называются верхнимъ и нижнимъ приближенными значешями чиспа а; оне темъ менее отличают- отличаются другъ отъ друга и отъ дроби а, чемъ больше число //. Такъ какъ !>) Правило приближеннаго вычислен1я квадратнаго корня, даетъ намъ воз- возможность ыослЕдовательно опредЕлить десятичные знаки корня; такъ что, если Ап есть корень, вычисленный съ приближешемъ до и-го десятичнаго знака (прибли- (приближенно меньшее его значен1е), то мы имЕемъ алгориемъ, дающШ возможность оп- редЕлить .1 .,, т. е дробь, состоящую изъ дроби Ап и еще одного опредЕлен- нымъ образомъ устанавливаемаго десятичнаго знака.