Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/103

88 § 24 Согласно пункту 4, можно подобрать для чисел ь рис значешя к, I, к', I', который удовлетворяютъ неравенствамъ к ? < к', I * < / A7) при чемъ результат ь /;О, .>') .заключается между тЪми же пределами ^ и а1, что и число т, если только выбрать приближенныя значешя г и .< чисел ь р и с въ пред-ьлахъ, указанныхъ въ формуле A7), т. е. если /г < /¦ < к'. 1 < s < /'. A8) Последнее же yoioBie можетъ быть выполнено. Действительно, соглас- согласно нашему предположен^, теорема доказана для чиселъ р и а; это зна- значить, выбравъ достаточно тъсные пределы для рашональныхь прибли- женныхъ значенш а, Ь, с, ..-, т, п, ¦¦ чиселъ ¦*, ft, у, ... , и., v, . мы получимъ въ результатъ дЪйствн! f(a, b, с, ...) = /¦ и <[>(т, п, ..-) = > числа г и ,s" въ предЪлахъ, указанныхъ въ формул!; A8). Таким ь обра- зомъ теорема доказана въ общем ь видЕ 12). 6. Теорем-fe о непрерывности можно дать несколько иную формули- формулировку, которая необходима во многихъ случаяхъ, при чемъ доказатель- доказательство остается прежнее: Если по прежнему число р = /(а, [3, у....) есть результатъ нЪкоторыхъ вычислен!й, произведенныхъ надь числами a, [i. ¦у, ••-! и если g <^ о, то можно зам-Ьнить числа a, ft, у. ••• ихъ ра- ц1ональными приближенными значен1ями л, ]i, с, . такимъ об- разомъ, чтобы r=f( а, Ь, с,...), и q<Cr<p. Теорема эта съ соответственными изм^нен1ями остается въ ситЬ и въ томъ случай, если принять р <" <r'1:l). 7. Изложенная нами теорема имъетъ двоякое значен1е. Съ одной стороны, она даетъ намъ уверенность, что въ практических ь вычислешяхъ, ll) Индуктивный npie№ доказательства здЕсь примЕняется, очевидно, къ чи- числу дЕйств1й, который нужно произвести надъ данными числами. Если этихъ дЕй- CTBiii имЕется, напримЕръ, три, то третье дЕйств1е можно разсматривать какъ опе- pauiro F(p,i), производимую надъ результатомъ р первыхъ двухъ дЕйств1й и но- вымъ числомъ з. 13) Мы привели послЕднее предложен1е цЕликомъ въ томъ видЕ, какъ оно формулировано авторомъ, но должны указать на то, что оно не всегда справедли- справедливо; такъ, напримЕръ, если положимъ то, при а = 3, з = 0; въ этомъ случаЕ, очевидно, нельзя замЕнить аир такими приближенными значешями, чтобы получить результатъ меньшШ, нежели р. Это лю- любопытный примЕръ того, какъ легко впасть въ ошибку, если опускать доказатель- доказательства.