Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/101

86 § 24 быть нулем ь (случай, когда делитель равенъ нулю, исключается изъ разсмотрътпя). 4. Практическая ценность данныхъ нами опредЪленШ основныхь четырехъ дЪйсгвШ обнаруживается при разсмо^гр-Ьнш вытекающей изь этихъ оиредт>ленШ важной теоремы,—назовемъ ее теоремой о непре- непрерывности. Эта теорема имЪетъ следующее содержание. Возьмемъ два произвольныхъ числа а и [3 причем ь разъ навсегда замътимъ, что случай, когда делитель [3 частнаго зс/JJ есть нуль, исклю- исключается; черезъ /(а, [3) = р обозначимъ результатъ какого-либо изь че- четырехъ основныхъ дт>йств!й, которому мы желаемъ совершить надъ числами а, [3; дал-fee, черезъ J {а,Ь) = /' обозначимъ результатъ тЪхъ же дЪй- СТВ1Й, если выполнить ихъ надъ рацюнальными числами й, Ь. Возмемъ теперь два произвольныхъ рацюнальныхъ или иррацюналь- ныхъ числа g и g удовлетворяющихъ неравенствамъ Z < Р < g'- П) Утверждаемъ, что числа аг, rt/, />, и /;t', удовлетворяюш1я неравенствамъ ах < « < ах', ftt < Р < W B) можно подобрать такимъ образомъ, чтобы при всякой napt ращональ- ныхъ чиселъ </, /;, удовлетворяющихъ неравенствам ь д, < а < д/, bt < Ъ < 1 C) выполнялось неравенство g < г < g'- D) Смыслъ всЪхъ эгихъ неравенствъ словами можно передать такь: Къ результату /а,[3) нЪкотораго дЪйств1я надъ иррашональ- ными числами можно подойти сколь угодно близко, составляя результатъ f(a, b) того же д1,йств1я надъ рацшнальными числа- числами: стоитъ лишь подобрать числа а и b такь, чтобы они доста- достаточно мало отличались отъ чисель а и {J. Так1я числа а и /> называются приближенными значешями чи- челъ а и [3. Доказательство приведенной георемы вытекаетъ непосредственно изъ данныхъ нами опред'Ьлешй д-ьйств1й надъ иррацюнальными числами; мы ограничимся доказательствомъ теоремы для того случая, когда разсматри- ваемое д-Ьйств1е есть сложен1е, т. е. р = а -|- [3. Такъ какъ число р есть верхняя граница суммъ а -- Ь и нижняя граница суммь а' -- //, то для всякой пары чиселъ сне' с-Ьчешя С С, соотвътствующаго числу р, мы можемъ подобрать сумму д, -j- hi и сумму а -- Ь такь, чтобы чи- сленныя значен1я этихъ суммъ заключались соответственно между числами с и р, и числами р и с'; имтземь, следовательно, г < a, -f bt < а,' + />,' < с! . E) Если теперь выбрать такую пару чиселъ а и /;, чтобы удовлетворялись