Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/100

85 § 24 Следовательно, мы получили бы, чго для всЪхъ чиселъ а, Ь, п Ь' имЪетъ место неравенство с' — с < (л' — д) + (/>' — Ь). Эго заключение противоречить доказанному раньше предложешю, что положительный разности й' — а и // — b можно сделать сколь угодно малыми, если подобрать соотвтлтгвующимъ образомъ числа а и а', Ь и //. (§ 22,5). Итакъ, числа у и у' не могутъ быть отличны другъ О1Ъ друга имея это въ виду, мы устанавчиваемь следующее определеше: Суммой а -|- [3 чиселъ а и {j мы называемъ верхнюю гра- границу всЬхъ суммъ а -- Ъ и равную ей нижнюю границу всЬхъ суммъ а' -- h'. 2. Раньше, чт^мъ дать опред-влеше разности ирращональныхъ чиселъ, замъгимъ, что разности а — Ь' и й' — Ь им-Ьютъ соответственно верх- верхнюю и нижнюю границу. Повторяя буквально разсужден1я предыдущего параграфа, мы докажемъ, что обе границы не могут ь быть отличны другъ отъ друга. Сообразно этому разностью а — ft чиселъ а и ft мы называемъ верхнюю границу чиселъ а — // и равную ей нижнюю границу чиселъ а' — Ь. 3. Дадимъ теперь опреде.леше умножешя и делешя, имЬя въ виду сперва лишь положительныя числа а и й; числа а и числа /; мы точно так- также пока беремъ исключительно положительныя. Тогда легко по предыду- предыдущему найти, что произведешя аЪ и частныя а/Ь' им-Ьютъ верхнюю границу, а произведения а'Ъ' и а'/Ь имЕютъ нижнюю границу, при чемъ обе грани- границы совпадаютъ. Произведешемъ аф положительныхъ чиселъ а и fi на- называется общая граница (соответственно верхняя или ниж- нижняя) чиселъ йЬ и а'Ъ'. Частнымъ a/[i положительныхъ чиселъ аи^ называется верхняя граница частныхъ а'Ъ' и равная ей ниж- нижняя граница чиселъ а'/Ъ- Чтобы распространить умножеше и делеше и на отрицательныя иррац1ональныя числа, мы оставимъ для нихъ въ силе те услов!я, кото- который мы приняли относительно умножешя ращональныхъ чиселъ (§ 13): именно: ( - ¦*.$ = а(- 0) = — я$, —ач—Р) = ар -а а а — а а р = -Р =~ Р -р~ р- Если одинь изъ множителей произведен1я ар или делимое частнаго зс/Р есть нуль, то соответствующее произведете или частное мы счи- таемъ равнымъ нулю. По прежнему, делитель р частнаго а/р не долженъ