Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/92

$R(z)=ct$

(28)

‎приводится къ уравненію (54), разрѣшимому въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Этотъ послѣдній результатъ настоящаго параграфа мы можемъ формулировать въ видѣ слѣдующей теоремы:

Теорема 12. Всякое (не двучленное) алгебраическое уравненіе, имѣющее группу линейныхъ подстановокъ, разрѣшимо въ гипергеометрическихъ фуркціяхъ.

§ 7. Двучленное уравненіе.

Двучленнымъ уравненіемъ мы будемъ называть не только уравненіе

$u^{N}=R(z),$

(76)

‎но и всякое уравненіе, приводимое къ уравненію (76) линейнымъ преобразованіемъ:

$u={\frac {\alpha u'+\beta }{\gamma u'+\delta }},$

‎т. е. уравненія вида:

$\left({\frac {\alpha u'+\beta }{\gamma u'+\delta }}\right)^{N}=R(z).$

(77)

‎Двучленное уравненіе мы до сихъ поръ устраняли во всѣхъ нашихъ разсужденіяхъ, потому что оно не принадлежитъ ни къ одному изъ разсмотрѣнныхъ нами двухъ классовъ. Но по своимъ свойствамъ оно довольно похоже на уравненія втораго изъ разсмотрѣнныхъ классовъ и объ этомъ мы скажемъ теперь нѣсколько словъ.

1) Двучленное уравненіе имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ. Группа эта циклическая: она состоитъ изъ степеней одной и той же подстановки:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ \ldots ,\ S^{N-1}.$

(78)

‎Въ самомъ дѣлѣ, для уравненія (76) подстановка $S$ такова:

$S(u)=\varepsilon u,$ ‎гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{N}}.$

(79)

Тот же текст в современной орфографии

$R(z)=ct$

(28)

‎приводится к уравнению (54), разрешимому в гипергеометрических функциях.

Этот последний результат настоящего параграфа мы можем формулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 12. Всякое (не двучленное) алгебраическое уравнение, имеющее группу линейных подстановок, разрешимо в гипергеометрических фуркциях.

§ 7. Двучленное уравнение.

Двучленным уравнением мы будем называть не только уравнение

$u^{N}=R(z),$

(76)

‎но и всякое уравнение, приводимое к уравнению (76) линейным преобразованием:

$u={\frac {\alpha u'+\beta }{\gamma u'+\delta }},$

‎т. е. уравнения вида:

$\left({\frac {\alpha u'+\beta }{\gamma u'+\delta }}\right)^{N}=R(z).$

(77)

‎Двучленное уравнение мы до сих пор устраняли во всех наших рассуждениях, потому что оно не принадлежит ни к одному из рассмотренных нами двух классов. Но по своим свойствам оно довольно похоже на уравнения второго из рассмотренных классов, и об этом мы скажем теперь несколько слов.

1) Двучленное уравнение имеет группу линейных подстановок. Группа эта циклическая: она состоит из степеней одной и той же подстановки:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ \ldots ,\ S^{N-1}.$

(78)

‎В самом деле, для уравнения (76) подстановка $S$ такова:

$S(u)=\varepsilon u,$ ‎где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{N}}.$

(79)