Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/89

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dt}}+p_{2}y=0$

‎есть интегралъ дифференціальнаго уравненія:

$[u]_{t}=2p_{2}-{\frac {dp_{1}}{dt}}-{\frac {1}{2}}p_{1}^{2}.$

‎Примѣняя этотъ результатъ къ гипергеометрическому уравненію (67), мы найдемъ, что отношеніе всякихъ двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ его удовлетворяетъ уравненію:

${\begin{matrix}[u]_{t}={\dfrac {1-(1-\gamma )^{2}}{2t^{2}}}+{\dfrac {1-(\gamma -\alpha -\beta )^{2}}{2(t-1)^{2}}}\,+\\+\,{\dfrac {(1-\gamma )^{2}+(\gamma -\alpha -\beta )^{2}-(\alpha -\beta )^{2}-1}{2t(t-1)}}.\end{matrix}}$

(69)

‎Сравнивая это уравненіе съ уравненіемъ (66), находимъ, что оно станетъ съ нимъ тождественнымъ, если:

$1-\gamma ={\frac {1}{\lambda _{1}}},\ \gamma -\alpha -\beta ={\frac {1}{\lambda _{2}}},\ \alpha -\beta ={\frac {1}{\lambda }},$

(70)

‎откуда:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}.\end{array}}\right\}$

(71)

‎Мы видимъ, что если параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрическаго уравненія опредѣлены изъ таблицы (71), то отношеніе двухъ линейно независимыхъ интеграловъ его

$u={\frac {y'}{y''}}$

‎удовлетворяетъ дифференціальному уравненію (66).

Тот же текст в современной орфографии

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dt}}+p_{2}y=0$

‎есть интеграл дифференциального уравнения:

$[u]_{t}=2p_{2}-{\frac {dp_{1}}{dt}}-{\frac {1}{2}}p_{1}^{2}.$

‎Применяя этот результат к гипергеометрическому уравнению (67), мы найдем, что отношение всяких двух линейно независимых частных интегралов его удовлетворяет уравнению:

${\begin{matrix}[u]_{t}={\dfrac {1-(1-\gamma )^{2}}{2t^{2}}}+{\dfrac {1-(\gamma -\alpha -\beta )^{2}}{2(t-1)^{2}}}\,+\\+\,{\dfrac {(1-\gamma )^{2}+(\gamma -\alpha -\beta )^{2}-(\alpha -\beta )^{2}-1}{2t(t-1)}}.\end{matrix}}$

(69)

‎Сравнивая это уравнение с уравнением (66), находим, что оно станет с ним тождественным, если:

$1-\gamma ={\frac {1}{\lambda _{1}}},\ \gamma -\alpha -\beta ={\frac {1}{\lambda _{2}}},\ \alpha -\beta ={\frac {1}{\lambda }},$

(70)

‎откуда:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}.\end{array}}\right\}$

(71)

‎Мы видим, что если параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрического уравнения определены из таблицы (71), то отношение двух линейно независимых интегралов его

$u={\frac {y'}{y''}}$

‎удовлетворяет дифференциальному уравнению (66).