Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/84

Сообразно съ этимъ существуетъ и четыре типа алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ.

Обратимъ вниманіе на то, что $\lambda _{2}$ во всѣхъ четырехъ случаяхъ равно 2 и подставимъ это значеніе $\lambda _{2}$ въ тождества (47) и (46):

$T_{1}(u)=c_{1}T(u),$

(51)

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{2}(u),$[1]

(52)

‎гдѣ $c'=c_{1}^{2}$ есть нѣкоторое новое постоянное.

Уравненіе (44) приметъ такой видъ:

${\frac {c'T^{2}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}=t-1.$

(53)

‎Итакъ, уравненіе (29) тождественнымъ образомъ можетъ быть преобразовано въ (53).

Соединяя эти двѣ формы уравненія (29) вмѣстѣ, мы представимъ уравненіе (29) въ слѣдующемъ видѣ:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=t:t-1:1.$[2]

(54)

‎Послѣдніе результаты, полученные нами въ настоящемъ параграфѣ, можно формулировать въ видѣ слѣдующихъ двухъ теоремъ:

Теорема 9. Между функціями $f(u),\ H(u),\ T(u)$ существуетъ тождественное соотношеніе вида:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{2}(u).$

(52)

‎Теорема 10. Существуетъ не болѣе четырехъ типовъ алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ. Всѣ эти уравненія приводятся къ виду:

1. Съ подобными тождествами часто приходится встрѣчаться въ теоріи формъ: квадратъ нечетнаго (gauche, ungerade) коваріанта выражается раціонально черезъ четные (droit, gerade) коваріанты.
2. Къ подобной формѣ Клейнъ постоянно приводитъ изучаемыя имъ уравненія.

Тот же текст в современной орфографии

Сообразно с этим существует и четыре типа алгебраических уравнений, имеющих группу линейных подстановок.

Обратим внимание на то, что $\lambda _{2}$ во всех четырех случаях равно 2, и подставим это значение $\lambda _{2}$ в тождества (47) и (46):

$T_{1}(u)=c_{1}T(u),$

(51)

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{2}(u),$[1]

(52)

‎где $c'=c_{1}^{2}$ есть некоторое новая постоянная.

Уравнение (44) примет такой вид:

${\frac {c'T^{2}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}=t-1.$

(53)

‎Итак, уравнение (29) тождественным образом может быть преобразовано в (53).

Соединяя эти две формы уравнения (29) вместе, мы представим уравнение (29) в следующем виде:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=t:t-1:1.$[2]

(54)

‎Последние результаты, полученные нами в настоящем параграфе, можно формулировать в виде следующих двух теорем:

Теорема 9. Между функциями $f(u),\ H(u),\ T(u)$ существует тождественное соотношение вида:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{2}(u).$

(52)

‎Теорема 10. Существует не более четырех типов алгебраических уравнений, имеющих группу линейных подстановок. Все эти уравнения приводятся к виду:

1. С подобными тождествами часто приходится встречаться в теории форм: квадрат нечетного (gauche, ungerade) коварианта выражается рационально через четные (droit, gerade) коварианты.
2. К подобной форме Клейн постоянно приводит изучаемые им уравнения.