Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/79

Второе изъ уравненій (42) опредѣляетъ кратные корни уравненія (29), соотвѣтствующія критической точкѣ:

$t=0.$

‎Это суть $\lambda _{1}$-кратные корни уравненія (29), какъ видно и прямо изъ уравненія (29).

Третье изъ уравненій (42):

$T(u)=0$

‎опредѣляетъ кратные корни, соотвѣтствующіе нѣкоторой третьей критической точкѣ.

Уравненіе (29) только въ слѣдующихъ трехъ случаяхъ будетъ имѣть меньше трехъ критическихъ точекъ:

1) когда $\lambda =1$, 2) когда $\lambda _{1}=1$, 3) когда степень многочлена $T(u)$ равна 0.

Изъ теоремы 1 мы знаемъ, что показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ не меньше 2.

Слѣдовательно, два первые изъ трехъ только что указанныхъ случаевъ встрѣтиться не могутъ.

Степень многочлена $T(u)$ равна $3\nu -6$. Это число ни при какомъ $\nu$, отличномъ отъ 2 не можетъ равняться 0. Случай $\nu =2$ былъ разсмотрѣнъ нами въ [[../../Глава I/ДО#§4|§ 4]] и мы видѣли, что въ этомъ случаѣ многочленъ $T(u)$ равенъ:

$T(u)={\frac {u^{m}-1}{2}}.$

‎Степень его отлична отъ 0.

Итакъ, корни уравненія (29) имѣютъ непремѣнно 3 критическія точки: 0, $\infty$ и еще одну намъ неизвѣстную конечную критическую точку $t_{0}$.

Пользуясь тѣмъ, что постоянное $c$ въ уравненіи (29) осталось неопредѣленнымъ, мы можемъ его выбрать такъ, чтобы $t_{0}$ равнялось 1: если $a$ есть какой-нибудь корень уравненія

$T(u)=0,$

‎то для нашей цѣли достаточно положить:

Тот же текст в современной орфографии

Второе из уравнений (42) определяет кратные корни уравнения (29), соответствующие критической точке:

$t=0.$

‎Это суть $\lambda _{1}$-кратные корни уравнения (29), как видно и прямо из уравнения (29).

Третье из уравнений (42):

$T(u)=0$

‎определяет кратные корни, соответствующие некоторой третьей критической точке.

Уравнение (29) только в следующих трех случаях будет иметь меньше трех критических точек:

1) когда $\lambda =1$, 2) когда $\lambda _{1}=1$, 3) когда степень многочлена $T(u)$ равна 0.

Из теоремы 1 мы знаем, что показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ не меньше 2.

Следовательно, два первые из трех только что указанных случаев встретиться не могут.

Степень многочлена $T(u)$ равна $3\nu -6$. Это число ни при каком $\nu$, отличном от 2, не может равняться 0. Случай $\nu =2$ был рассмотрен нами в § 4, и мы видели, что в этом случае многочлен $T(u)$ равен:

$T(u)={\frac {u^{m}-1}{2}}.$

‎Степень его отлична от 0.

Итак, корни уравнения (29) имеют непременно 3 критические точки: 0, $\infty$ и еще одну нам неизвестную конечную критическую точку $t_{0}$.

Пользуясь тем, что постоянная $c$ в уравнении (29) осталась неопределенной, мы можем ее выбрать так, чтобы $t_{0}$ равнялось 1: если $a$ есть какой-нибудь корень уравнения

$T(u)=0,$

‎то для нашей цели достаточно положить: