Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/77

$S_{1}=1,\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{i},\ \ldots ,\ S_{N}.$

(10)

‎Пусть при

$t=t_{i}$

‎$m_{i}$ корней уравненія (33) дѣлаются равными между собою:

$u_{1}=u_{2}=\ldots =u_{m_{i}}.$

‎Ясно, что въ такомъ случаѣ будемъ имѣть:

$\left.{\begin{matrix}S_{1}(u_{1})=S_{1}(u_{2})=\ldots =S_{1}(u_{m_{i}}),\\S_{2}(u_{1})=S_{2}(u_{2})=\ldots =S_{2}(u_{m_{i}}),\\S_{3}(u_{1})=S_{3}(u_{2})=\ldots =S_{3}(u_{m_{i}}),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{matrix}}\right\}$

(36)

‎т. е. при $t=t_{i}$ уравненіе (33) имѣетъ ${\frac {N}{m_{i}}}$ различныхъ корней, и каждый изъ нихъ есть $m$-кратный корень.

Мы видѣли, что каждый изъ этихъ корней есть $m_{i}-1$-кратный корень уравненія (35); слѣдовательно уравненіе (35) будетъ имѣть:

${\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1)$

‎корней, соотвѣтствующихъ $t=t_{i}$.

Такимъ же образомъ сосчитаемъ, сколько уравненіе (35) имѣетъ корней, соотвѣтствующихъ всякой другой критической точкѣ.

Число всѣхъ корней уравненія (35) выразится такъ:

$\sum _{i=1}^{i=\sigma }{\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1),$

(37)

‎гдѣ $\sigma$ есть число всѣхъ критическихъ точекъ корней уравненія (33).

Тот же текст в современной орфографии

$S_{1}=1,\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{i},\ \ldots ,\ S_{N}.$

(10)

‎Пусть при

$t=t_{i}$

‎$m_{i}$ корней уравнения (33) делаются равными между собой:

$u_{1}=u_{2}=\ldots =u_{m_{i}}.$

‎Ясно, что в таком случае будем иметь:

$\left.{\begin{matrix}S_{1}(u_{1})=S_{1}(u_{2})=\ldots =S_{1}(u_{m_{i}}),\\S_{2}(u_{1})=S_{2}(u_{2})=\ldots =S_{2}(u_{m_{i}}),\\S_{3}(u_{1})=S_{3}(u_{2})=\ldots =S_{3}(u_{m_{i}}),\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{matrix}}\right\}$

(36)

‎т. е. при $t=t_{i}$ уравнение (33) имеет ${\frac {N}{m_{i}}}$ различных корней, и каждый из них есть $m$-кратный корень.

Мы видели, что каждый из этих корней есть $m_{i}-1$-кратный корень уравнения (35); следовательно уравнение (35) будет иметь:

${\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1)$

‎корней, соответствующих $t=t_{i}$.

Таким же образом сосчитаем, сколько уравнение (35) имеет корней, соответствующих всякой другой критической точке.

Число всех корней уравнения (35) выразится так:

$\sum _{i=1}^{\sigma }{\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1),$

(37)

‎где $\sigma$ есть число всех критических точек корней уравнения (33).