Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/73

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎можетъ быть представленъ въ видѣ отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Возьмемъ уравненіе:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}$

(17)

‎и по данной функціи $P$ подъищемъ двѣ функціи $p_{1}$ и $p_{2}$, которыя удовлетворяли бы уравненію (17)—такихъ паръ функцій можно найти безконечное множество.

Возьмемъ линейное дифференціальное уравненіе

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0,$

(1)

‎гдѣ $p_{1}$ и $p_{2}$ имѣютъ только что выбранныя нами значенія.

Изъ теоремы 4 слѣдуетъ, что отношеніе всякихъ двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ уравненія (1):

$u={\frac {y'}{y''}}$

(6')

‎удовлетворяетъ уравненію (19). Общій же интегралъ уравненія (19) на основаніи теоремы 5 выразится такъ:

$U={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}={\frac {\alpha y'+\beta y''}{\gamma y'+\delta y''}}.$

(20)

‎Числитель и знаменатель выраженія:

${\frac {\alpha y'+\beta y''}{\gamma y'+\delta y''}}$

‎суть снова интегралы того же уравненія (1).

Слѣдовательно, всякій интегралъ дифференціальнаго уравненія (19) есть отношеніе частныхъ интеграловъ нѣкотораго линейнаго дифференціальнаго уравненія (1).

Теорема доказана.

Тот же текст в современной орфографии

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎может быть представлен в виде отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Возьмем уравнение:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}$

(17)

‎и по данной функции $P$ подыщем две функции $p_{1}$ и $p_{2}$, которые удовлетворяли бы уравнению (17), — таких пар функций можно найти бесконечное множество.

Возьмем линейное дифференциальное уравнение

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0,$

(1)

‎где $p_{1}$ и $p_{2}$ имеют только что выбранные нами значения.

Из теоремы 4 следует, что отношение всяких двух линейно независимых частных интегралов уравнения (1):

$u={\frac {y'}{y''}}$

(6')

‎удовлетворяет уравнению (19). Общий же интеграл уравнения (19) на основании теоремы 5 выразится так:

$U={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}={\frac {\alpha y'+\beta y''}{\gamma y'+\delta y''}}.$

(20)

‎Числитель и знаменатель выражения:

${\frac {\alpha y'+\beta y''}{\gamma y'+\delta y''}}$

‎суть снова интегралы того же уравнения (1).

Следовательно, всякий интеграл дифференциального уравнения (19) есть отношение частных интегралов некоторого линейного дифференциального уравнения (1).

Теорема доказана.