Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/67

Эта страница не была вычитана

Теорема 3. Уравненіе (2) имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ^[1].

↑ Какъ мы уже говорили выше, мы будемъ называть линейною подстановкою преобразованіе такого вида: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
Линейныя подстановки мы будемъ обозначать символами $S,\ {\mathfrak {T}},\ U,\ \ldots ,$
напр.: $S(u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
‎Если надъ количествомъ $u$ совершается подстановка $S$ и затѣмъ надъ полученнымъ результатомъ совершается подстановка ${\mathfrak {T}}$ , то мы будемъ обозначать это формулою: ${\mathfrak {T}}S(u)$
и называть подстановку ${\mathfrak {T}}S$ произведеніемъ подстановокъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$ .
‎Подстановку вида: $SSS\ldots S(u)$
мы будемъ обозначать сокращенно такъ: $S^{m}(u)$
и называть символъ $S^{m}$ степенью подстановки $S$ .
‎Если: $S^{m}(u)=u,$
то мы будемъ сокращенно выражать это такъ: $S^{m}=1.$
Наинисшую степень $m$ , удовлетворяющую этому условію мы будемъ называть порядкомъ подстановки $S$ . Если двѣ подстановки $S$ и $S'$ таковы, что $SS'(u)=u,$
т. е. $SS'=1,$
то мы будемъ называть подстановку $S'$ обратною подстановкѣ $S$ и обозначать ее черезъ $S^{-1}$ . Ясно, что подстановка обратная подстановкѣ $S^{\alpha }$ есть $(S^{-1})^{\alpha }$ или, короче, $S^{-\alpha }$ .
‎Мы уже говорили выше, чт҅о мы называемъ группою линейныхъ подстановокъ и порядкомъ группы.
‎Ясно, что если въ группу входитъ подстановка $S$ , то въ нее войдутъ и всѣ степени этой подстановки: $S,\ S^{2},\ S^{3},\ \ldots ,\ S^{m-1},\ S^{m}=1.$
‎Подстановка единица: $1.u=u$
входитъ во всякую группу.
‎Новое понятіе о группахъ подстановокъ взошло уже въ курсы алгебры (см. Serret Cours d’algèbre supérieure изд. 4, т. II, стр. 356).
‎Свойства группъ линейныхъ подстановокъ совершенно аналогичны со свойствами тѣхъ субституцій, которыя обыкновенно разсматриваются въ алгебрѣ.
‎Говоря: уравненіе имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ, мы этими ловами будемъ сокращенно выражать ту особенность уравненія, что
1) всѣ корни его связаны между собою линейными подстановками и
2) что эти линейныя подстановки образуютъ группу.

Тот же текст в современной орфографии

Теорема 3. Уравнение (2) имеет группу линейных подстановок^[1].

↑ Как мы уже говорили выше, мы будем называть линейной подстановкой преобразование такого вида: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
Линейные подстановки мы будем обозначать символами $S,\ {\mathfrak {T}},\ U,\ \ldots ,$
напр.: $S(u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
‎Если над количеством $u$ совершается подстановка $S$ и затем над полученным результатом совершается подстановка ${\mathfrak {T}}$ , то мы будем обозначать это формулой: ${\mathfrak {T}}S(u)$
и называть подстановку ${\mathfrak {T}}S$ произведением подстановок $S$ и ${\mathfrak {T}}$ .
‎Подстановку вида: $SSS\ldots S(u)$
мы будем обозначать сокращенно так: $S^{m}(u)$
и называть символ $S^{m}$ степенью подстановки $S$ .
‎Если: $S^{m}(u)=u,$
то мы будем сокращенно выражать это так: $S^{m}=1.$
Наинисшую степень $m$ , удовлетворяющую этому условию мы будем называть порядком подстановки $S$ . Если две подстановки $S$ и $S'$ таковы, что $SS'(u)=u,$
т. е. $SS'=1,$
то мы будем называть подстановку $S'$ обратной подстановке $S$ и обозначать ее через $S^{-1}$ . Ясно, что подстановка, обратная подстановке $S^{\alpha }$ , есть $(S^{-1})^{\alpha }$ или, короче, $S^{-\alpha }$ .
‎Мы уже говорили выше, чт҅о мы называем группой линейных подстановок и порядком группы.
‎Ясно, что если в группу входит подстановка $S$ , то в нее войдут и все степени этой подстановки: $S,\ S^{2},\ S^{3},\ \ldots ,\ S^{m-1},\ S^{m}=1.$
‎Подстановка единица: $1\cdot u=u$
входит во всякую группу.
‎Новое понятие о группах подстановок взошло уже в курсы алгебры (см. Serret Cours d’algèbre supérieure изд. 4, т. II, стр. 356).
‎Свойства групп линейных подстановок совершенно аналогичны со свойствами тех субституций, которые обыкновенно рассматриваются в алгебре.
‎Говоря: уравнение имеет группу линейных подстановок, мы этими ловами будем сокращенно выражать ту особенность уравнения, что
1) все корни его связаны между собой линейными подстановками и
2) что эти линейные подстановки образуют группу.

[1] Какъ мы уже говорили выше, мы будемъ называть линейною подстановкою преобразованіе такого вида: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
Линейныя подстановки мы будемъ обозначать символами $S,\ {\mathfrak {T}},\ U,\ \ldots ,$
напр.: $S(u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
‎Если надъ количествомъ $u$ совершается подстановка $S$ и затѣмъ надъ полученнымъ результатомъ совершается подстановка ${\mathfrak {T}}$ , то мы будемъ обозначать это формулою: ${\mathfrak {T}}S(u)$
и называть подстановку ${\mathfrak {T}}S$ произведеніемъ подстановокъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$ .
‎Подстановку вида: $SSS\ldots S(u)$
мы будемъ обозначать сокращенно такъ: $S^{m}(u)$
и называть символъ $S^{m}$ степенью подстановки $S$ .
‎Если: $S^{m}(u)=u,$
то мы будемъ сокращенно выражать это такъ: $S^{m}=1.$
Наинисшую степень $m$ , удовлетворяющую этому условію мы будемъ называть порядкомъ подстановки $S$ . Если двѣ подстановки $S$ и $S'$ таковы, что $SS'(u)=u,$
т. е. $SS'=1,$
то мы будемъ называть подстановку $S'$ обратною подстановкѣ $S$ и обозначать ее черезъ $S^{-1}$ . Ясно, что подстановка обратная подстановкѣ $S^{\alpha }$ есть $(S^{-1})^{\alpha }$ или, короче, $S^{-\alpha }$ .
‎Мы уже говорили выше, чт҅о мы называемъ группою линейныхъ подстановокъ и порядкомъ группы.
‎Ясно, что если въ группу входитъ подстановка $S$ , то въ нее войдутъ и всѣ степени этой подстановки: $S,\ S^{2},\ S^{3},\ \ldots ,\ S^{m-1},\ S^{m}=1.$
‎Подстановка единица: $1.u=u$
входитъ во всякую группу.
‎Новое понятіе о группахъ подстановокъ взошло уже въ курсы алгебры (см. Serret Cours d’algèbre supérieure изд. 4, т. II, стр. 356).
‎Свойства группъ линейныхъ подстановокъ совершенно аналогичны со свойствами тѣхъ субституцій, которыя обыкновенно разсматриваются въ алгебрѣ.
‎Говоря: уравненіе имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ, мы этими ловами будемъ сокращенно выражать ту особенность уравненія, что
1) всѣ корни его связаны между собою линейными подстановками и
2) что эти линейныя подстановки образуютъ группу.

[2] Как мы уже говорили выше, мы будем называть линейной подстановкой преобразование такого вида: ${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
Линейные подстановки мы будем обозначать символами $S,\ {\mathfrak {T}},\ U,\ \ldots ,$
напр.: $S(u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$
‎Если над количеством $u$ совершается подстановка $S$ и затем над полученным результатом совершается подстановка ${\mathfrak {T}}$ , то мы будем обозначать это формулой: ${\mathfrak {T}}S(u)$
и называть подстановку ${\mathfrak {T}}S$ произведением подстановок $S$ и ${\mathfrak {T}}$ .
‎Подстановку вида: $SSS\ldots S(u)$
мы будем обозначать сокращенно так: $S^{m}(u)$
и называть символ $S^{m}$ степенью подстановки $S$ .
‎Если: $S^{m}(u)=u,$
то мы будем сокращенно выражать это так: $S^{m}=1.$
Наинисшую степень $m$ , удовлетворяющую этому условию мы будем называть порядком подстановки $S$ . Если две подстановки $S$ и $S'$ таковы, что $SS'(u)=u,$
т. е. $SS'=1,$
то мы будем называть подстановку $S'$ обратной подстановке $S$ и обозначать ее через $S^{-1}$ . Ясно, что подстановка, обратная подстановке $S^{\alpha }$ , есть $(S^{-1})^{\alpha }$ или, короче, $S^{-\alpha }$ .
‎Мы уже говорили выше, чт҅о мы называем группой линейных подстановок и порядком группы.
‎Ясно, что если в группу входит подстановка $S$ , то в нее войдут и все степени этой подстановки: $S,\ S^{2},\ S^{3},\ \ldots ,\ S^{m-1},\ S^{m}=1.$
‎Подстановка единица: $1\cdot u=u$
входит во всякую группу.
‎Новое понятие о группах подстановок взошло уже в курсы алгебры (см. Serret Cours d’algèbre supérieure изд. 4, т. II, стр. 356).
‎Свойства групп линейных подстановок совершенно аналогичны со свойствами тех субституций, которые обыкновенно рассматриваются в алгебре.
‎Говоря: уравнение имеет группу линейных подстановок, мы этими ловами будем сокращенно выражать ту особенность уравнения, что
1) все корни его связаны между собой линейными подстановками и
2) что эти линейные подстановки образуют группу.

[1]

[1]