Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/66

$\lambda \nu =\lambda _{1}\nu _{1}=N.$

(3)

‎Теорема 1. Показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$, входящіе въ уравненіе (2), не могутъ равняться единицѣ.

Обозначимъ по прежнему индексы первичныхъ формъ

$f(\eta ',\ \eta ''),\ H(\eta ',\ \eta '')$

‎буквами $\mu$ и $\mu _{1}$.

Изъ формулъ ([[../../Глава I/ДО#Eq96|96]]) [[../../Глава I/ДО|главы I]] мы видимъ, что показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ или соотвѣтственно равны индексамъ $\mu$ и $\mu _{1}$, или вдвое меньше ихъ.

Изъ [[../../Глава I/ДО#Теорема 14|теоремъ 14]], [[../../Глава I/ДО#Теорема 15|15]], [[../../Глава I/ДО#Теорема 17|17]] и [[../../Глава I/ДО#Теорема 18|18]] [[../../Глава I/ДО|главы I]] слѣдуетъ, что если степень $\nu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ отлична отъ 2, то индексы $\mu$ и $\mu _{1}$ не могутъ равняться ни 1, ни 2.

Если такъ, то при $\nu$ отличномъ отъ 2 показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ не могутъ равняться 1.

Случай $\nu =2$ былъ нами разсмотрѣнъ въ [[../../Глава I/ДО#§4|§ 4]].

Въ этомъ случаѣ уравненіе (1) таково:

${\frac {H^{2}(u)}{f^{m}(u)}}=R(z),$

(4)

‎гдѣ

$f(u)=u,\ H(u)={\frac {u^{m}+1}{2}}.$

(5)

‎Такъ какъ при $m=1$ уравненіе (4) никакого интереса не представляетъ, то мы въ правѣ сказать, что въ случаѣ $\nu =2$ уравненіе (1) имѣетъ показателями $\lambda$ и $\lambda _{1}$ числа, не меньшія 2.

Теорема доказана.

Теорема 2. Степень $N$ уравненія (2) не ниже 4.

Изъ равенствъ (3) слѣдуетъ, что

$N=\lambda \nu ,$

‎а такъ какъ $\nu$ не меньше 2, и $\lambda$ по теоремѣ 1 тоже не меньше 2, то $N$ не меньше 4.

Тот же текст в современной орфографии

$\lambda \nu =\lambda _{1}\nu _{1}=N.$

(3)

‎Теорема 1. Показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$, входящие в уравнение (2), не могут равняться единице.

Обозначим по-прежнему индексы первичных форм

$f(\eta ',\ \eta ''),\ H(\eta ',\ \eta '')$

‎буквами $\mu$ и $\mu _{1}$.

Из формул (96) главы I мы видим, что показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ или соответственно равны индексам $\mu$ и $\mu _{1}$, или вдвое меньше их.

Из теорем 14, 15, 17 и 18 главы I следует, что если степень $\nu$ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ отлична от 2, то индексы $\mu$ и $\mu _{1}$ не могут равняться ни 1, ни 2.

Если так, то при $\nu$, отличном от 2, показатели $\lambda$ и $\lambda _{1}$ не могут равняться 1.

Случай $\nu =2$ был нами рассмотрен в § 4.

В этом случае уравнение (1) таково:

${\frac {H^{2}(u)}{f^{m}(u)}}=R(z),$

(4)

‎где

$f(u)=u,\ H(u)={\frac {u^{m}+1}{2}}.$

(5)

‎Так как при $m=1$ уравнение (4) никакого интереса не представляет, то мы вправе сказать, что в случае $\nu =2$ уравнение (1) имеет показателями $\lambda$ и $\lambda _{1}$ числа, не меньшие 2.

Теорема доказана.

Теорема 2. Степень $N$ уравнения (2) не ниже 4.

Из равенств (3) следует, что

$N=\lambda \nu ,$

‎а так как $\nu$ не меньше 2, и $\lambda$ по теореме 1 тоже не меньше 2, то $N$ не меньше 4.