Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/58

Эта страница не была вычитана

{\frac {\eta '}{\eta ''}}

‎уравненія (21):

$u={\frac {y'}{y''}}={\frac {\eta '}{\eta ''}}.$

(98)

‎Если такъ, то теорема должна быть справедлива какъ для дифференціальнаго уравненія (2), такъ и для алгебраическаго уравненія (1).

Такъ какъ теорема 20 по доказанному справедлива для уравненій (1) и (2), а уравненія (20) и (21) могутъ быть разсматриваемы какъ простѣйшій случай уравненій (1) и (2), то въ дальнѣйшемъ мы снова вернемся къ уравненіямъ (1) и (2). Уравненіями (20) и (21) мы будемъ пользоваться иногда для упрощенія вычисленій тамъ, гдѣ это будетъ возможно сдѣлать, не нарушая общности теоремы. Мы будемъ также иногда указывать на особенности этого болѣе простаго частнаго случая.

Теорема 23. Корни $y_{1},\ y_{2}$ уравненія (1) выражаются при помощи одного квадратнаго радикала, какъ явныя функціи корня

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$

(98')

‎уравненія (95).

Пусть

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$

(98')

‎есть корень уравненія:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(95)

‎Одифференцируемъ равенство (98'):

${\frac {du}{dz}}={\frac {y_{2}{\dfrac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\dfrac {dy_{2}}{dz}}}{y_{2}^{2}}}.$

(99)

Тот же текст в современной орфографии

{\frac {\eta '}{\eta ''}}

‎уравнения (21):

$u={\frac {y'}{y''}}={\frac {\eta '}{\eta ''}}.$

(98)

‎Если так, то теорема должна быть справедлива как для дифференциального уравнения (2), так и для алгебраического уравнения (1).

Так как теорема 20 по доказанному справедлива для уравнений (1) и (2), а уравнения (20) и (21) могут быть рассматриваемы как простейший случай уравнений (1) и (2), то в дальнейшем мы снова вернемся к уравнениям (1) и (2). Уравнениями (20) и (21) мы будем пользоваться иногда для упрощения вычислений там, где это будет возможно сделать, не нарушая общности теоремы. Мы будем также иногда указывать на особенности этого более простого частного случая.

Теорема 23. Корни $y_{1},\ y_{2}$ уравнения (1) выражаются при помощи одного квадратного радикала как явные функции корня

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$

(98')

‎уравнения (95).

Пусть

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$

(98')

‎есть корень уравнения:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(95)

‎Продифференцируем равенство (98'):

${\frac {du}{dz}}={\frac {y_{2}{\dfrac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\dfrac {dy_{2}}{dz}}}{y_{2}^{2}}}.$

(99)