Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/57

Теорема доказана.

Ради единства формулъ мы дальше всегда будемъ изображать уравненіе (83) въ видѣ (95), имѣя постоянно въ виду два возможныхъ случая:

$\left.{\begin{array}{rc}\mathrm {I.} &N=n,\ \lambda =\mu ,\ \lambda _{1}=\mu _{1},\ R(z)={\mathfrak {R}}(z),\\\mathrm {II.} &N={\dfrac {n}{2}},\ \lambda ={\dfrac {\mu }{2}},\ \lambda _{1}={\dfrac {\mu _{1}}{2}},\ R(z)={\sqrt {{\mathfrak {R}}(z)}},\end{array}}\right\}$

(96)

‎гдѣ $N,\ \lambda ,\ \lambda _{1}$ суть цѣлыя числа, а $R(z)$—раціональная функція $z$. Въ обоихъ случаяхъ имѣютъ мѣсто соотношенія:

$N=\lambda \nu =\lambda _{1}\nu _{1}.$

(97)

‎Теорема 22. Отношенія частныхъ интеграловъ уравненій (2) и (21) и отношенія корней уравненій (1) и (20) удовлетворяютъ уравненіямъ вида:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(95)

‎при чемъ степень $N$ этого уравненія и показатели $\lambda _{1}$ и $\lambda$ опредѣляются равенствами (96).

Справедливость теоремы для интеграловъ уравненія (21) была уже доказана нами выше.

Корни уравненія (20) суть частные интегралы уравненія (21); слѣдовательно, для нихъ теорема подавно справедлива. Изъ формулы (19) видно, что интегралы уравненія (2) связаны съ интегралами уравненія (21) посредствомъ соотношенія:

$y=e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta .$

(19')

‎Слѣдовательно отношеніе интеграловъ:

${\frac {y'}{y''}}$

‎уравненія (2) таково же, какъ и отношеніе интеграловъ:

Тот же текст в современной орфографии

Теорема доказана.

Ради единства формул мы дальше всегда будем изображать уравнение (83) в виде (95), имея постоянно в виду два возможных случая:

$\left.{\begin{array}{rc}\mathrm {I.} &N=n,\ \lambda =\mu ,\ \lambda _{1}=\mu _{1},\ R(z)={\mathfrak {R}}(z),\\\mathrm {II.} &N={\dfrac {n}{2}},\ \lambda ={\dfrac {\mu }{2}},\ \lambda _{1}={\dfrac {\mu _{1}}{2}},\ R(z)={\sqrt {{\mathfrak {R}}(z)}},\end{array}}\right\}$

(96)

‎где $N,\ \lambda ,\ \lambda _{1}$ суть целые числа, а $R(z)$ — рациональная функция $z$. В обоих случаях имеют место соотношения:

$N=\lambda \nu =\lambda _{1}\nu _{1}.$

(97)

‎Теорема 22. Отношения частных интегралов уравнений (2) и (21) и отношения корней уравнений (1) и (20) удовлетворяют уравнениям вида:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(95)

‎причем степень $N$ этого уравнения и показатели $\lambda _{1}$ и $\lambda$ определяются равенствами (96).

Справедливость теоремы для интегралов уравнения (21) была уже доказана нами выше.

Корни уравнения (20) суть частные интегралы уравнения (21); следовательно, для них теорема подавно справедлива. Из формулы (19) видно, что интегралы уравнения (2) связаны с интегралами уравнения (21) посредством соотношения:

$y=e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta .$

(19')

‎Следовательно отношение интегралов:

${\frac {y'}{y''}}$

‎уравнения (2) таково же, как и отношение интегралов: