Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/46

Исключимъ цѣлую часть изъ числа $r_{1}$ и обозначимъ ее буквою $e$, а остающуюся положительную правильную дробь обозначимъ буквою $\varepsilon$:

$r_{1}=e+\varepsilon .$

(69)

‎Изъ уравненія (24) видно, что

$r_{1}+r_{2}=1;$

‎слѣдовательно:

$r_{2}=1-e-\varepsilon .$

(70)

‎Различимъ два случая:

1) хотя бы для одной какой-нибудь изъ критическихъ точекъ

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{\rho }$

‎напримѣръ для $\alpha _{i}$, дробь $\varepsilon$ отлична отъ ${\frac {1}{2}}$;

2) для всѣхъ критическихъ точекъ дробь $\varepsilon$ равна ${\frac {1}{2}}$.

I. Пусть для точки $\alpha _{i}$ дробь $\varepsilon$ отлична отъ ${\frac {1}{2}}$.

Обозначимъ знаменатель дроби $\varepsilon$ буквою $l$. Число это по нашему предположенію больше 2.

Пусть:

$e^{\frac {2\pi i}{l}}=j.$

(71)

‎Тогда при $l$ обходахъ около точки $\alpha _{i}$, функція $\eta _{1}$ пріобрѣтетъ $l$ такихъ значеній:

$\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{l-1}\eta _{1}.$

(72)

‎Всѣ $n$ значеній того уравненія, которому удовлетворяетъ функція $\eta _{1}$ могутъ быть расположены въ видѣ таблицы, подобной таблицѣ (38). Приведенная система корней этого уравненія будетъ содержать въ себѣ не болѣе ${\frac {n}{l}}$ членовъ.