Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/42

$\Omega (\eta ',\ \eta '')=A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.$

(59)

‎Подставивъ выраженія (57) и (59) въ равенство (58), находимъ:

${\begin{matrix}\alpha _{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +\alpha _{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }=\\=\,j^{k}\{A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }\}.\end{matrix}}$

(60)

‎Равенство (60) есть тождество, потому что иначе отношеніе ${\frac {{\bar {\eta }}'}{{\bar {\eta }}''}}$ было бы постоянно, интегралы ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, а вмѣстѣ съ ними и $\eta ',\ \eta ''$ не были бы линейно независимы.

Сравнивая коэффиціенты въ обѣихъ частяхъ тождества (60), находимъ:

$\alpha _{0}=j^{k}A_{0},\ \alpha _{1}=j^{k}A_{1},\ \alpha _{2}=j^{k}A_{2},\ \ldots ,\ \alpha _{\nu }=j^{k}A_{\nu }.$

(61)

‎Коваріантъ $c(\eta ',\ \eta '')$ формы $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ послѣ совершеннаго обхода перейдетъ въ $c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$.

Составимъ коваріантъ, подобный $c(\eta ',\ \eta '')$, для формы:

$A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.$

(59')

‎Обозначимъ его такъ:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$

‎и пусть:

$C(\eta ',\ \eta '')=C_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\sigma }+(\nu )_{1}C_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\sigma -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +C_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\sigma }.$

(62)

‎Въ силу основнаго свойства всякаго коваріанта, имѣемъ:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=(\alpha \delta -\beta \gamma )^{\lambda }c(\eta ',\ \eta ''),$

(63)

‎гдѣ $\lambda$—нѣкоторое цѣлое число.

Такъ какъ:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1,$

‎то равенство (63) принимаетъ такой видъ:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=c(\eta ',\ \eta ''),$

(64)

‎Извѣстно, что коэффиціенты коваріанта суть однородныя функціи коэффиціентовъ данной формы и при томъ всѣ оди-

Тот же текст в современной орфографии

$\Omega (\eta ',\ \eta '')=A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.$

(59)

‎Подставив выражения (57) и (59) в равенство (58), находим:

${\begin{matrix}\alpha _{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +\alpha _{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }=\\=\,j^{k}\{A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }\}.\end{matrix}}$

(60)

‎Равенство (60) есть тождество, потому что иначе отношение ${\frac {{\bar {\eta }}'}{{\bar {\eta }}''}}$ было бы постоянно, интегралы ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, а вместе с ними и $\eta ',\ \eta ''$ не были бы линейно независимы.

Сравнивая коэффициенты в обеих частях тождества (60), находим:

$\alpha _{0}=j^{k}A_{0},\ \alpha _{1}=j^{k}A_{1},\ \alpha _{2}=j^{k}A_{2},\ \ldots ,\ \alpha _{\nu }=j^{k}A_{\nu }.$

(61)

‎Ковариант $c(\eta ',\ \eta '')$ формы $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ после совершенного обхода перейдет в $c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$.

Составим ковариант, подобный $c(\eta ',\ \eta '')$, для формы:

$A_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}A_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +A_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.$

(59')

‎Обозначим его так:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$

‎и пусть:

$C(\eta ',\ \eta '')=C_{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\sigma }+(\nu )_{1}C_{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\sigma -1}{\bar {\eta }}''+\ldots +C_{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\sigma }.$

(62)

‎В силу основного свойства всякого коварианта, имеем:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=(\alpha \delta -\beta \gamma )^{\lambda }c(\eta ',\ \eta ''),$

(63)

‎где $\lambda$ — некоторое целое число.

Так как:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1,$

‎то равенство (63) принимает такой вид:

$C({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=c(\eta ',\ \eta ''),$

(64)

‎Известно, что коэффициенты коварианта суть однородные функции коэффициентов данной формы и притом все оди-