Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/41

Теорема 13. Всякій коваріантъ первичной формы равенъ радикалу изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$.

Пусть первичная форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ такова:

${\begin{matrix}\Omega (\eta ',\ \eta '')=\alpha _{0}\eta '\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}\eta '\,{}^{\nu -1}\eta ''+(\nu )_{2}\alpha _{2}\eta '\,{}^{\nu -2}\eta ''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\nu )_{\nu -1}\alpha _{\nu -1}\eta '\eta ''\,{}^{\nu -1}+\alpha _{\nu }\eta ''\,{}^{\nu }.\end{matrix}}$[1]

(54)

‎Возьмемъ какой-либо коваріантъ ея:

${\begin{matrix}c(\eta ',\ \eta '')=\alpha _{0}\eta '\,{}^{\sigma }+(\sigma )_{1}c_{1}\eta '\,{}^{\sigma -1}\eta ''+(\sigma )_{2}c_{2}\eta '\,{}^{\sigma -2}\eta ''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\sigma )_{\sigma -1}c_{\sigma -1}\eta '\eta ''\,{}^{\sigma -1}+c_{\sigma }\eta ''\,{}^{\sigma }.\end{matrix}}$

(55)

‎Совершимъ обходъ около какой-нибудь критической точки на плоскости перемѣннаго $z$. Пусть послѣ этого обхода интегралы $\eta ',\ \eta ''$ перейдутъ въ ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, при чемъ:

$\left.{\begin{matrix}\eta '=\alpha {\bar {\eta }}'+\beta {\bar {\eta }}'',\\\eta ''=\gamma {\bar {\eta }}'+\delta {\bar {\eta }}'',\end{matrix}}\right\}\alpha \delta -\beta \gamma =1.$[2]

(56)

‎Форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ перейдетъ въ $\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$, гдѣ:

${\begin{matrix}\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=\alpha _{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+(\nu )_{2}\alpha _{2}{\bar {\eta }}'^{\nu -2}{\bar {\eta }}''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\nu )_{\nu -1}\alpha _{\nu -1}{\bar {\eta }}'{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu -1}+\alpha _{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.\end{matrix}}$

(57)

‎такъ какъ $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ есть радикалъ изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$, то:

$\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=j^{k}\Omega (\eta ',\ \eta ''),$

(58)

‎гдѣ $j$ корень степени $\mu$ изъ единицы, а $k$—нѣкоторое цѣлое число.

Подставивъ въ $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ вмѣсто $\eta ',\ \eta ''$ ихъ выраженія (56), мы приведемъ эту форму къ такому виду:

1. Величины: $(\nu )_{1},\ (\nu )_{2},\ (\nu )_{3},\ \ldots$
   ‎суть биноміальные коэффиціенты.
2. На основаніи теоремы 6.

Тот же текст в современной орфографии

Теорема 13. Всякий ковариант первичной формы равен радикалу из рациональной функции переменной $z$.

Пусть первичная форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ такова:

${\begin{matrix}\Omega (\eta ',\ \eta '')=\alpha _{0}\eta '\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}\eta '\,{}^{\nu -1}\eta ''+(\nu )_{2}\alpha _{2}\eta '\,{}^{\nu -2}\eta ''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\nu )_{\nu -1}\alpha _{\nu -1}\eta '\eta ''\,{}^{\nu -1}+\alpha _{\nu }\eta ''\,{}^{\nu }.\end{matrix}}$[1]

(54)

‎Возьмем какой-либо ковариант ее:

${\begin{matrix}c(\eta ',\ \eta '')=\alpha _{0}\eta '\,{}^{\sigma }+(\sigma )_{1}c_{1}\eta '\,{}^{\sigma -1}\eta ''+(\sigma )_{2}c_{2}\eta '\,{}^{\sigma -2}\eta ''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\sigma )_{\sigma -1}c_{\sigma -1}\eta '\eta ''\,{}^{\sigma -1}+c_{\sigma }\eta ''\,{}^{\sigma }.\end{matrix}}$

(55)

‎Совершим обход около какой-нибудь критической точки на плоскости переменной $z$. Пусть после этого обхода интегралы $\eta ',\ \eta ''$ перейдут в ${\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}''$, причем:

$\left.{\begin{matrix}\eta '=\alpha {\bar {\eta }}'+\beta {\bar {\eta }}'',\\\eta ''=\gamma {\bar {\eta }}'+\delta {\bar {\eta }}'',\end{matrix}}\right\}\quad \alpha \delta -\beta \gamma =1.$[2]

(56)

‎Форма $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ перейдет в $\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')$, где:

${\begin{matrix}\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=\alpha _{0}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu }+(\nu )_{1}\alpha _{1}{\bar {\eta }}'\,{}^{\nu -1}{\bar {\eta }}''+(\nu )_{2}\alpha _{2}{\bar {\eta }}'^{\nu -2}{\bar {\eta }}''\,{}^{2}+\ldots \\+\,(\nu )_{\nu -1}\alpha _{\nu -1}{\bar {\eta }}'{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu -1}+\alpha _{\nu }{\bar {\eta }}''\,{}^{\nu }.\end{matrix}}$

(57)

‎так как $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ есть радикал из рациональной функции переменной $z$, то:

$\Omega ({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=j^{k}\Omega (\eta ',\ \eta ''),$

(58)

‎где $j$ — корень степени $\mu$ из единицы, а $k$ — некоторое целое число.

Подставив в $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ вместо $\eta ',\ \eta ''$ их выражения (56), мы приведем эту форму к такому виду:

1. Величины: $(\nu )_{1},\ (\nu )_{2},\ (\nu )_{3},\ \ldots$
   ‎суть биномиальные коэффициенты.
2. На основании теоремы 6.