Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/40

Теорема 12. Если форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имѣющая аргументами два линейно независимыхъ частныхъ интеграла $\eta ',\ \eta ''$ уравненія (21), равна радикалу изъ раціональной функціи $z$, то ее можно представить въ видѣ произведенія нѣсколькихъ первичныхъ формъ.

Отдѣлимъ въ формѣ $\omega (\eta ',\ \eta '')$ линейный множитель $c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''$, найдемъ то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяетъ функція:

$(\eta )=c_{1}\eta '+c_{2}\eta '',$

(51)

‎найдемъ приведенную систему корней этого уравненія:

$(\eta _{1}),\ (\eta _{2}),\ \ldots ,\ (\eta _{\nu })$

‎и составимъ первичную форму:

$(\eta _{1})(\eta _{2})\ldots (\eta _{\nu })=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta ''),$

(52)

‎соотвѣтствующую этому уравненію. На основаніи теоремы 11, форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имѣя съ первичной формой $\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ общій множитель $c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''$, раздѣлится на нее нацѣло:

$\omega (\eta ',\ \eta '')=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '').$

(53)

‎Такъ какъ $\omega (\eta ',\ \eta '')$ и $\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ суть радикалы изъ раціональной функціи $z$, то и $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ есть радикалъ изъ раціональной функціи $z$.

Примѣняя тѣ же разсужденія къ формѣ $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$, найдемъ, что

$\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')=\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')\omega _{2}(\eta ',\ \eta ''),$

‎гдѣ $\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')$ есть нѣкоторая первичная форма. И т. д.

Въ результатѣ мы найдемъ, что

$\omega (\eta ',\ \eta '')=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')\ldots \Omega _{\rho }(\eta ',\ \eta ''),$

(54)

‎гдѣ

$\Omega _{1}(\eta ',\ \eta ''),\ \Omega _{2}(\eta ',\ \eta ''),\ \ldots ,\ \Omega _{\rho }(\eta ',\ \eta '')$

‎суть первичныя формы.

Теорема доказана.

Тот же текст в современной орфографии

Теорема 12. Если форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имеющая аргументами два линейно независимых частных интеграла $\eta ',\ \eta ''$ уравнения (21), равна радикалу из рациональной функции $z$, то ее можно представить в виде произведения нескольких первичных форм.

Отделим в форме $\omega (\eta ',\ \eta '')$ линейный множитель $c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''$, найдем то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяет функция:

$(\eta )=c_{1}\eta '+c_{2}\eta '',$

(51)

‎найдем приведенную систему корней этого уравнения:

$(\eta _{1}),\ (\eta _{2}),\ \ldots ,\ (\eta _{\nu })$

‎и составим первичную форму:

$(\eta _{1})(\eta _{2})\ldots (\eta _{\nu })=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta ''),$

(52)

‎соответствующую этому уравнению. На основании теоремы 11, форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имея с первичной формой $\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ общий множитель $c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''$, разделится на нее нацело:

$\omega (\eta ',\ \eta '')=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '').$

(53)

‎Так как $\omega (\eta ',\ \eta '')$ и $\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ суть радикалы из рациональной функции $z$, то и $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ есть радикал из рациональной функции $z$.

Применяя те же рассуждения к форме $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$, найдем, что

$\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')=\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')\omega _{2}(\eta ',\ \eta ''),$

‎где $\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')$ есть некоторая первичная форма. И т. д.

В результате мы найдем, что

$\omega (\eta ',\ \eta '')=\Omega _{1}(\eta ',\ \eta '')\Omega _{2}(\eta ',\ \eta '')\ldots \Omega _{\rho }(\eta ',\ \eta ''),$

(54)

‎где

$\Omega _{1}(\eta ',\ \eta ''),\ \Omega _{2}(\eta ',\ \eta ''),\ \ldots ,\ \Omega _{\rho }(\eta ',\ \eta '')$

‎суть первичные формы.

Теорема доказана.