Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/38

Въ теоремѣ 9 мы видѣли, что подъ вліяніемъ всевозможныхъ обходовъ на плоскости $z$ первичная форма пріобрѣтаетъ лишь множителемъ различныя степени $j$ — радикала степени $\mu$ изъ 1. Если такъ, то форма:

$\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '')$

‎ни при какихъ обходахъ на плоскости $z$ мѣняться не будетъ; а такъ какъ, кромѣ того, мы знаемъ, что это алгебраическая функція $z$, то приходимъ къ заключенію, что она функція раціональная

$\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '')=R(z).$

(42)

‎Откуда:

$\Omega (\eta ',\ \eta '')={\sqrt[{\mu }]{R(z)}}.$

(43)

‎Теорема доказана.

Слѣдуетъ замѣтить однако, что степень радикала можетъ понизиться, если функція $R(z)$ имѣетъ видъ:

$R(z)={\mathfrak {R}}^{\mu '}(z),$

‎гдѣ ${\mathfrak {R}}(z)$ есть функція раціональная, а $\mu '$ — дѣлитель $\mu$.

Такъ какъ всѣ корни уравненія (20) расположены въ таблицѣ (38), то свободный членъ уравненія (20), независимо отъ знака, равенъ произведенію величинъ (38), т.-е. онъ равенъ:

$(\eta _{1}\cdot \eta _{2}\cdot \ldots \cdot \eta _{\nu })^{\mu }=\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '').$

(44)

‎Иными словами, функція $R(z)$, стоящая во второй части равенства (42), независимо отъ знака, равна свободному члену уравненія (20).

Теорема 11. Если цѣлая однородная форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имѣющая аргументами два линейно-независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (21), равна радикалу изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$ и если она имѣетъ общій линейный множитель $c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''$ съ первичною формою $\Omega (\eta ',\ \eta '')$, то она нацѣло дѣлится на эту первичную форму.

Тот же текст в современной орфографии

В теореме 9 мы видели, что под влиянием всевозможных обходов на плоскости $z$ первичная форма приобретает лишь множителем различные степени $j$ — радикала степени $\mu$ из 1. Если так, то форма:

$\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '')$

‎ни при каких обходах на плоскости $z$ меняться не будет; а так как, кроме того, мы знаем, что это алгебраическая функция $z$, то приходим к заключению, что она функция рациональная

$\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '')=R(z).$

(42)

‎Откуда:

$\Omega (\eta ',\ \eta '')={\sqrt[{\mu }]{R(z)}}.$

(43)

‎Теорема доказана.

Следует заметить однако, что степень радикала может понизиться, если функция $R(z)$ имеет вид:

$R(z)={\mathfrak {R}}^{\mu '}(z),$

‎где ${\mathfrak {R}}(z)$ есть функция рациональная, а $\mu '$ — делитель $\mu$.

Так как все корни уравнения (20) расположены в таблице (38), то свободный член уравнения (20), независимо от знака, равен произведению величин (38), т. е. он равен:

$(\eta _{1}\cdot \eta _{2}\cdot \ldots \cdot \eta _{\nu })^{\mu }=\Omega ^{\mu }(\eta ',\ \eta '').$

(44)

‎Иными словами, функция $R(z)$, стоящая во второй части равенства (42), независимо от знака, равна свободному члену уравнения (20).

Теорема 11. Если целая однородная форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$, имеющая аргументами два линейно-независимых частных интеграла уравнения (21), равна радикалу из рациональной функции переменной $z$ и если она имеет общий линейный множитель $c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''$ с первичной формой $\Omega (\eta ',\ \eta '')$, то она нацело делится на эту первичную форму.