Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/36

Отсюда слѣдуетъ, что всѣ корни уравненія (36), или, что то же, уравненія (20), могутъ быть расположены въ видѣ таблицы:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{1},\\\eta _{2},\ j\eta _{2},\ j^{2}\eta _{2},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\eta _{\nu },\ j\eta _{\nu },\ j^{2}\eta _{\nu },\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{\nu }.\end{matrix}}\right\}$

(38)

‎Такъ какъ таблица эта исчерпываетъ всѣ корни уравненія степени $n$, то между числами $\mu$, $\nu$ и $n$ существуетъ соотношеніе:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Пусть $\eta '$ и $\eta ''$ есть какая-нибудь пара линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ уравненія (21). Въ такомъ случаѣ всѣ корни системы (34) выразятся чрезъ нихъ линейно:

$\eta _{i}=c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta '',$

(40)

‎произведеніе же величинъ:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu }$

(34)

‎представится въ видѣ цѣлой однородной формы съ перемѣнными $\eta ',\ \eta ''$:

$\eta _{1}\eta _{2}\ldots \eta _{\nu }={\overset {i=\nu }{\underset {i=1}{P}}}[c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta '']=\Omega (\eta ',\ \eta '').$[1]

(41)

‎Форму $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ мы будемъ называть, слѣдуя Фуксу первичною формою (Primform)^[2]; $\nu$ есть ея степень, а $\mu$ называется ея индексомъ.

1. Если мы примемъ $\eta '=\eta _{1},\ \eta ''=\eta _{2}$ (что мы въ правѣ сдѣлать, потому что отношеніе ${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$ не есть величина постоянная), то форма $\Omega (\eta _{1},\ \eta _{2})$ будетъ имѣть множителемъ $\eta _{1}\eta _{2}$, т.-е. въ формѣ $\Omega (\eta _{1},\ \eta _{2})$ коэффиціенты при $\eta _{1}^{\nu }$ и $\eta _{2}^{\nu }$ будутъ равны 0. Съ такими формами мы впослѣдствіи будемъ встрѣчаться.
2. Клейнъ называетъ такія формы основными формами (Grundformen).

Тот же текст в современной орфографии

Отсюда следует, что все корни уравнения (36), или, что то же, уравнения (20), могут быть расположены в виде таблицы:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{1},\\\eta _{2},\ j\eta _{2},\ j^{2}\eta _{2},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\eta _{\nu },\ j\eta _{\nu },\ j^{2}\eta _{\nu },\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{\nu }.\end{matrix}}\right\}$

(38)

‎Так как таблица эта исчерпывает все корни уравнения степени $n$, то между числами $\mu$, $\nu$ и $n$ существует соотношение:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Пусть $\eta '$ и $\eta ''$ есть какая-нибудь пара линейно независимых частных интегралов уравнения (21). В таком случае все корни системы (34) выразятся через них линейно:

$\eta _{i}=c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta '',$

(40)

‎произведение же величин:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu }$

(34)

‎представится в виде целой однородной формы с переменными $\eta ',\ \eta ''$:

$\eta _{1}\eta _{2}\ldots \eta _{\nu }=\prod _{i=1}^{\nu }[c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta '']=\Omega (\eta ',\ \eta '').$[1]

(41)

‎Форму $\Omega (\eta ',\ \eta '')$ мы будем называть, следуя Фуксу, первичной формой (Primform)^[2]; $\nu$ есть ее степень, а $\mu$ называется ее индексом.

1. Если мы примем $\eta '=\eta _{1},\ \eta ''=\eta _{2}$ (что мы вправе сделать, потому что отношение ${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$ не есть величина постоянная), то форма $\Omega (\eta _{1},\ \eta _{2})$ будет иметь множителем $\eta _{1}\eta _{2}$, т. е. в форме $\Omega (\eta _{1},\ \eta _{2})$ коэффициенты при $\eta _{1}^{\nu }$ и $\eta _{2}^{\nu }$ будут равны 0. С такими формами мы впоследствии будем встречаться.
2. Клейн называет такие формы основными формами (Grundformen).