Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/238

${\begin{matrix}s=0,\ {\dfrac {p}{r}}=he^{\frac {\pi i}{5}}=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}},\\{\dfrac {q}{r}}=0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}.\end{matrix}}$

(81)

‎Итакъ, въ области I корень $u$ икосаэдрическаго уравненія выражается формулою:

$u=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}}+0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}{\frac {z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {11}{60}},\;-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}.$

(82)

‎Таково выраженіе корня $u$ въ области I, т. е. при

${\text{мод.}}\,z\leqq 1.$

‎Формулы (70) и (82) позволяютъ вычислить корень $u$ икосаэдрическаго уравненія при всякомъ значеніи $z$. Найдя величину одного корня и зная подстановки икосаэдрической группы, мы можемъ вычислить всѣ остальные корни икосаэдрическаго уравненія^[1].

II. Октаэдрическое уравненіе.

Возьмемъ октаэдрическое уравненіе въ первой нормальной формѣ:

${\begin{matrix}(u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:108(u^{5}-u)^{4}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(38)

1. Клейнъ даетъ рѣшеніе икосаэдрическаго уравненія нѣсколько въ иной формѣ. См. Math. Annalen. Томъ 12. Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder. Ту же задачу нѣсколько иначе Клейнъ рѣшаетъ въ статьѣ того же заглавія, помѣщенной въ Sitzungsberichte der physikalisch medicinischen Societät zu Erlangen. 9 Heft.

Тот же текст в современной орфографии

${\begin{matrix}s=0,\ {\dfrac {p}{r}}=he^{\frac {\pi i}{5}}=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}},\\{\dfrac {q}{r}}=0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}.\end{matrix}}$

(81)

‎Итак, в области I корень $u$ икосаэдрического уравнения выражается формулой:

$u=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}}+0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}{\frac {z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {11}{60}},\;-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}.$

(82)

‎Таково выражение корня $u$ в области I, т. е. при

$|z|\leqslant 1.$

‎Формулы (70) и (82) позволяют вычислить корень $u$ икосаэдрического уравнения при всяком значении $z$. Найдя величину одного корня и зная подстановки икосаэдрической группы, мы можем вычислить все остальные корни икосаэдрического уравнения^[1].

II. Октаэдрическое уравнение.

Возьмем октаэдрическое уравнение в первой нормальной форме:

${\begin{matrix}(u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:108(u^{5}-u)^{4}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(38)

1. Клейн дает решение икосаэдрического уравнения несколько в иной форме. См. Math. Annalen. Том 12. Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder. Ту же задачу несколько иначе Клейн решает в статье того же заглавия, помещенной в Sitzungsberichte der physikalisch medicinischen Societät zu Erlangen. 9 Heft.