Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/236

Эта страница не была вычитана

Займемся ихъ опредѣленіемъ.

Въ [[../../Глава III/ДО#§10|§ 10]], при доказательствѣ [[../../Глава III/ДО#Теорема 3|теоремы 3]] [[../../Глава III/ДО|главы III]], мы видѣли, что когда точка $z$ идетъ по дѣйствительной оси справа влѣво и подходитъ къ точкѣ 0, точка $u$ движется по сторонѣ треугольника сѣти — сторонѣ, обозначенной на [[../../Глава III/ДО#Черт. 4|чертежѣ 4]] буквами $u_{1}u_{0}$ , а въ разсматриваемомъ случаѣ на [[../../Чертеж I/ДО|черт. I]] буквами $bc$ , и подходитъ къ соотвѣтствующей вершинѣ треугольника—вершинѣ, обозначенной на [[../../Чертеж I/ДО|черт. I]] буквою $c$ . Касательная къ дугѣ окружности $bc$ въ точкѣ $c$ наклонена къ дѣйствительной оси плоскости подъ угломъ ${\frac {23}{15}}\pi$ .

Изъ этихъ соображеній и изъ вида икосаэдрическаго уравненія (54') не трудно усмотрѣть, что въ области точки $z=0$ корень $u$ разлагается въ рядъ вида:

$u=he^{\frac {\pi i}{5}}+ke^{{\frac {23}{15}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots ,$

(72)

‎гдѣ $h$ есть разстояніе точки $c$ отъ начала координатъ, т. е. модуль количества, изображаемаго точкою $c$ , а $k$ —нѣкоторое дѣйствительное положительное число.

Займемся опредѣленіемъ постоянныхъ $h$ и $k$ .

Изъ [[../../Чертеж I/ДО|чертежа I]] видно, что точка $c$ не мѣняется икосаэдрическою подстановкою:

S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}};

‎она служитъ поэтому корнемъ уравненія:

$u={\frac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}}\varepsilon ,$

(73)

гдѣ

\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.

‎Корни уравненія (73) таковы:

${\frac {\pm {\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-(3+{\sqrt {5}})}{4}}e^{\frac {\pi i}{5}}.$

(74)

Тот же текст в современной орфографии

Займемся их определением.

В § 10, при доказательстве теоремы 3 главы III, мы видели, что когда точка $z$ идет по действительной оси справа влево и подходит к точке 0, точка $u$ движется по стороне треугольника сети — стороне, обозначенной на чертеже 4 буквами $u_{1}u_{0}$ , а в рассматриваемом случае на черт. I буквами $bc$ , и подходит к соответствующей вершине треугольника — вершине, обозначенной на черт. I буквой $c$ . Касательная к дуге окружности $bc$ в точке $c$ наклонена к действительной оси плоскости под углом ${\frac {23}{15}}\pi$ .

Из этих соображений и из вида икосаэдрического уравнения (54') не трудно усмотреть, что в области точки $z=0$ корень $u$ разлагается в ряд вида:

$u=he^{\frac {\pi i}{5}}+ke^{{\frac {23}{15}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots ,$

(72)

‎где $h$ есть расстояние точки $c$ от начала координат, т. е. модуль количества, изображаемого точкой $c$ , а $k$ — некоторое действительное положительное число.

Займемся определением постоянных $h$ и $k$ .

Из чертежа I видно, что точка $c$ не меняется икосаэдрической подстановкой:

S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}};

‎она служит поэтому корнем уравнения:

$u={\frac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}}\varepsilon ,$

(73)

где

\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.

‎Корни уравнения (73) таковы:

${\frac {\pm {\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-(3+{\sqrt {5}})}{4}}e^{\frac {\pi i}{5}}.$

(74)