Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/233

Обозначивъ черезъ $y',\ y''$ два линейно независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (63), мы можемъ всякій корень уравненія (21) представить въ такомъ видѣ:

$u={\frac {py'+qy''}{ry'+sy''}},$

(65)

‎гдѣ $p,\ q,\ r,\ s$ суть нѣкоторыя постоянныя числа.

Займемся вычисленіемъ этихъ постоянныхъ для нормальныхъ уравненій тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго типовъ^[1].

Мы начнемъ съ икосаэдрическаго уравненія, какъ наиболѣе для насъ важнаго.

Въ вычисленіяхъ мы будемъ пользоваться формулами и обозначеніями [[../../Глава III/ДО#§9|§ 9]].

I. Икосаэдрическое уравненіе.

${\begin{matrix}(u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1)^{3}:(u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}\,-\\-\,10005u^{10}-522u^{5}+1)^{2}:-1728u^{5}(u^{10}+11u^{5}-1)^{5}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(54')

‎Параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрическаго уравненія, соотвѣтствующіе разсматриваемому случаю, таковы:

$\alpha ={\frac {11}{60}},\ \beta =-{\frac {1}{60}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Подставивъ эти значенія параметровъ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ въ формулы ([[../../Глава III/ДО#Eq46|46]]) и ([[../../Глава III/ДО#Eq48|48]]) [[../../Глава III/ДО#§9|параграфа 9]], находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F\left({\dfrac {11}{60}},\;-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right),\\y_{2}=z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right),\end{array}}\right\}$

(66)

1. Двупирамидное уравненіе мы опускаемъ потому, что оно въ радикалахъ рѣшается очень просто.

Тот же текст в современной орфографии

Обозначив через $y',\ y''$ два линейно независимых частных интеграла уравнения (63), мы можем всякий корень уравнения (21) представить в таком виде:

$u={\frac {py'+qy''}{ry'+sy''}},$

(65)

‎где $p,\ q,\ r,\ s$ суть некоторые постоянные числа.

Займемся вычислением этих постоянных для нормальных уравнений тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического типов^[1].

Мы начнем с икосаэдрического уравнения, как наиболее для нас важного.

В вычислениях мы будем пользоваться формулами и обозначениями § 9.

I. Икосаэдрическое уравнение.

${\begin{matrix}(u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1)^{3}:(u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}\,-\\-\,10005u^{10}-522u^{5}+1)^{2}:-1728u^{5}(u^{10}+11u^{5}-1)^{5}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(54')

‎Параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрического уравнения, соответствующие рассматриваемому случаю, таковы:

$\alpha ={\frac {11}{60}},\ \beta =-{\frac {1}{60}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Подставив эти значения параметров $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ в формулы (46) и (48) параграфа 9, находим:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F\left({\dfrac {11}{60}},\;-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right),\\y_{2}=z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right),\end{array}}\right\}$

(66)

1. Двупирамидное уравнение мы опускаем, потому что оно в радикалах решается очень просто.