Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/232

Ниже, въ [[../../Глава X/ДО|главѣ X]], мы убѣдимся въ томъ, что уравненіе 5-ой степени (62) не разрѣшимо въ радикалахъ^[1]. Поэтому и икосаэдрическое уравненіе (54) не разрѣшимо въ радикалахъ.

§ 33. Рѣшеніе уравненій изучаемаго класса въ гипергеометрическвхъ функціяхъ.

Пусть дано нормальное уравненіе:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(21)

‎Мы видѣли въ [[../../Глава II/ДО|главѣ II]], что корни его суть отношенія частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {dy}{ds}}-\alpha \beta y=0,$

(63)

при чемъ значенія параметровъ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline &{\begin{matrix}{\text{Двупирамид-}}\\{\text{ное.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Тетраэдриче-}}\\{\text{ское.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Октаэдриче-}}\\{\text{ское.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Икосаэдри-}}\\{\text{ческое.}}\end{matrix}}\\\hline \alpha =&{\dfrac {1}{2m}}&{\dfrac {1}{4}}&{\dfrac {5}{24}}&{\dfrac {11}{60}}\\\hline \beta =&-{\dfrac {1}{2m}}&-{\dfrac {1}{12}}&-{\dfrac {1}{24}}&-{\dfrac {1}{60}}\\\hline \gamma =&{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\\\hline \end{array}}$

(64)

1. Горданъ показалъ, что всякое уравненіе 5-ой степени можетъ быть преобразовано въ уравненіе вида (62). См. Math. Annalen. Томъ 28, стр. 152. Мы не приводимъ этого весьма интереснаго но нѣсколько сложнаго преобразованія Гордана. Ниже справедливость теоремы Гордана станетъ ясна изъ другихъ соображеній.

Тот же текст в современной орфографии

Ниже, в главе X, мы убедимся в том, что уравнение 5-ой степени (62) не разрешимо в радикалах^[1]. Поэтому и икосаэдрическое уравнение (54) не разрешимо в радикалах.

§ 33. Решение уравнений изучаемого класса в гипергеометрическвх функциях.

Пусть дано нормальное уравнение:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(21)

‎Мы видели в главе II, что корни его суть отношения частных интегралов гипергеометрического уравнения

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {dy}{ds}}-\alpha \beta y=0,$

(63)

причем значения параметров $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline &{\begin{matrix}{\text{Двупирамид-}}\\{\text{ное.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Тетраэдриче-}}\\{\text{ское.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Октаэдриче-}}\\{\text{ское.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Икосаэдри-}}\\{\text{ческое.}}\end{matrix}}\\\hline \alpha =&{\dfrac {1}{2m}}&{\dfrac {1}{4}}&{\dfrac {5}{24}}&{\dfrac {11}{60}}\\\hline \beta =&-{\dfrac {1}{2m}}&-{\dfrac {1}{12}}&-{\dfrac {1}{24}}&-{\dfrac {1}{60}}\\\hline \gamma =&{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\\\hline \end{array}}$

(64)

1. Гордан показал, что всякое уравнение 5-ой степени может быть преобразовано в уравнение вида (62). См. Math. Annalen. Том 28, стр. 152. Мы не приводим этого весьма интересного, но несколько сложного преобразования Гордана. Ниже справедливость теоремы Гордана станет ясна из других соображений.