Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/230

‎откуда:

$z_{\text{т}}={\frac {z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}{z_{\text{о}}}}.$

(51)

‎Подставивъ это выраженіе $z_{\text{т}}$ въ формулу (47), находимъ выраженіе корня $u$ октаэдрическаго уравненія (38):

${\begin{matrix}u=\\={\dfrac {{\sqrt {\varepsilon {\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}-\varepsilon ^{2}\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}}}+{\sqrt {-\varepsilon \sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}-\varepsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}}}}{\sqrt {\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}-{\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}}}}.\end{matrix}}$

(52)

‎Всѣ 24 корня октаэдрическаго уравненія (38) выражаются 24-значной функціей (52).

§ 32. Невозможность рѣшенія икосаэдрическаго уравненія въ радикалахъ.

Возьмемъ два уравненія:

${\frac {f_{\text{о}}^{''\,2}(u)}{f_{\text{и}}(u)}}=\zeta ,$

(53)

$H_{\text{и}}^{3}(u):T_{\text{и}}^{2}(u):-1728f_{\text{и}}^{3}(u)=z:z-1:1.$

(54)

‎Возьмемъ тождества ([[../../Глава VI/ДО#Eq65'|65']]) и ([[../../Глава VI/ДО#Eq67|67]]) [[../../Глава VI/ДО|главы VI]]:

$f_{\text{о}}''^{\,2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}''^{\,3}(u)-f_{\text{т}}''^{\,3}(u)],$

(55)

$f_{\text{и}}(u)=hH_{\text{т}}''^{\,3}(u)+kf_{\text{т}}''^{\,3}(u).$

(56)

‎На основаніи этихъ тождествъ мы въ правѣ сказать, что уравненіе (53) есть тетраэдрическое уравненіе третьяго нормальнаго вида.

Уравненіе (54) есть, какъ мы знаемъ, нормальное икосаэдрическое уравненіе.

Пусть перемѣнныя $z$ и $\zeta$ выбраны такъ, что уравненія (53) и (54) имѣютъ общій корень $u$.

Тот же текст в современной орфографии

‎откуда:

$z_{\text{т}}={\frac {z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}{z_{\text{о}}}}.$

(51)

‎Подставив это выражение $z_{\text{т}}$ в формулу (47), находим выражение корня $u$ октаэдрического уравнения (38):

${\begin{matrix}u=\\={\dfrac {{\sqrt {\varepsilon {\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}-\varepsilon ^{2}\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}}}+{\sqrt {-\varepsilon \sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}-\varepsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}}}}{\sqrt {\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}-{\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}}}}.\end{matrix}}$

(52)

‎Все 24 корня октаэдрического уравнения (38) выражаются 24-значной функцией (52).

§ 32. Невозможность решения икосаэдрического уравнения в радикалах.

Возьмем два уравнения:

${\frac {f_{\text{о}}^{''\,2}(u)}{f_{\text{и}}(u)}}=\zeta ,$

(53)

$H_{\text{и}}^{3}(u):T_{\text{и}}^{2}(u):-1728f_{\text{и}}^{3}(u)=z:z-1:1.$

(54)

‎Возьмем тождества (65') и (67) главы VI:

$f_{\text{о}}''^{\,2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}''^{\,3}(u)-f_{\text{т}}''^{\,3}(u)],$

(55)

$f_{\text{и}}(u)=hH_{\text{т}}''^{\,3}(u)+kf_{\text{т}}''^{\,3}(u).$

(56)

‎На основании этих тождеств мы вправе сказать, что уравнение (53) есть тетраэдрическое уравнение третьего нормального вида.

Уравнение (54) есть, как мы знаем, нормальное икосаэдрическое уравнение.

Пусть переменные $z$ и $\zeta$ выбраны так, что уравнения (53) и (54) имеют общий корень $u$.