Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/23

Теорема 3. Если одинъ изъ корней уравненія (1) удовлетворятъ дифференціальному уравненію (2), то ему удовлетворятъ всѣ корни уравненія (1).

Изъ уравненія (1) мы имѣемъ:

${\frac {dy}{dz}}=-{\frac {\frac {\partial {\mathit {\Phi }}(y,\ z)}{\partial z}}{\frac {\partial {\mathit {\Phi }}(y,\ z)}{\partial y}}}=\Psi (y,\ z),$

(8)

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}={\frac {\partial \Psi (y,\ z)}{\partial y}}\Psi (y,\ z)+{\frac {\partial \Psi (y,\ z)}{\partial z}}=\mathrm {X} (y,\ z).$

(9)

‎Если корень $y_{1}$ уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то это значитъ, что имѣетъ мѣсто тождество:

$\mathrm {X} (y_{1},\ z)+p_{1}\Psi (y_{1},\ z)+p_{2}y_{1}=0.$

(10)

‎Слѣдовательно корень $y_{1}$ уравненія (1) удовлетворяетъ также уравненію

$\Psi (y,\ z)+p_{1}\Psi (y,\ z)+p_{2}y=0.$

(11)

‎Вслѣдствіе неприводимости уравненія (1), уравненію (11) должны удовлетворять и всѣ остальные корни уравненія (1); а это и значитъ, что всѣ они удовлетворяютъ дифференціальному уравненію (2).

Теорема 4. Если какой нибудь корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то общій интегралъ уравненія (2) представится въ видѣ:

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎гдѣ $c_{1}$ и $c_{2}$ суть постоянныя числа, а $y_{1}$ и $y_{2}$ суть любые два корня уравненія (1), отношеніе которыхъ не есть величина постоянная.

Если какой нибудь корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то на основаніи теоремы 3 всѣ корни уравненія (1) удовлетворятъ уравненію (2) и будутъ его частными

Тот же текст в современной орфографии

Теорема 3. Если один из корней уравнения (1) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2), то ему удовлетворят все корни уравнения (1).

Из уравнения (1) мы имеем:

${\frac {dy}{dz}}=-{\frac {\frac {\partial {\mathit {\Phi }}(y,\ z)}{\partial z}}{\frac {\partial {\mathit {\Phi }}(y,\ z)}{\partial y}}}=\Psi (y,\ z),$

(8)

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}={\frac {\partial \Psi (y,\ z)}{\partial y}}\Psi (y,\ z)+{\frac {\partial \Psi (y,\ z)}{\partial z}}=\mathrm {X} (y,\ z).$

(9)

‎Если корень $y_{1}$ уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то это значит, что имеет место тождество:

$\mathrm {X} (y_{1},\ z)+p_{1}\Psi (y_{1},\ z)+p_{2}y_{1}=0.$

(10)

‎Следовательно корень $y_{1}$ уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

$\Psi (y,\ z)+p_{1}\Psi (y,\ z)+p_{2}y=0.$

(11)

‎Вследствие неприводимости уравнения (1), уравнению (11) должны удовлетворять и все остальные корни уравнения (1); а это и значит, что все они удовлетворяют дифференциальному уравнению (2).

Теорема 4. Если какой-нибудь корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то общий интеграл уравнения (2) представится в виде:

$c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},$

‎где $c_{1}$ и $c_{2}$ суть постоянные числа, а $y_{1}$ и $y_{2}$ суть любые два корня уравнения (1), отношение которых не есть величина постоянная.

Если какой-нибудь корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то на основании теоремы 3 все корни уравнения (1) удовлетворят уравнению (2) и будут его частными