Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/227

Изъ уравненій (24), (27), (34) мы опредѣлимъ четыре искомыхъ коэффиціента:

$p,\ q,\ r,\ s.$

‎Итакъ, для приведенія уравненія (22) къ нормальному виду (21) необходимо рѣшить одно нормальное уравненіе (26) того же типа.

Рѣшивъ уравненіе (21), мы будемъ въ состояніи найти корни уравненія (22): корни этихъ уравненій связаны между собою линейною зависимостью (23).

Слѣдовательно для рѣшенія уравненія общаго вида (22) необходимо рѣшить два нормальныхъ уравненія того же типа (26) и (21).

Задача о рѣшеніи уравненія общаго вида приводится, такимъ образомъ, къ задачѣ о рѣшеніи нормальнаго уравненія того же типа.

Въ слѣдующихъ параграфахъ мы займемся вопросомъ о рѣшеніи нормальныхъ уравненій.

§ 31. Рѣшеніе въ радикалахъ уравненій: двупирамидиаго, тетраэдрическаго и октаэдрическаго.

Мы уже упоминали въ [[../../Глава IV/ДО|главѣ IV]], что уравненія: тетраэдрическое и октаэдрическое разрѣшимы въ радикалахъ. Двупирамидное уравненіе въ нормальной формѣ разрѣшимо въ радикалахъ совершенно элементарнымъ способомъ.

Найдемъ эти рѣшенія.

Возьмемъ нормальныя уравненія:

1) $\left({\frac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z_{\text{д}}:z_{\text{д}}-1:1$ двупирамидное,	(35)
2) $\left({\frac {u^{2}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {u^{2}-1}{2}}\right)^{2}:u^{2}=z_{\text{ч}}:z_{\text{ч}}-1:1$ четверичное,	(36)
${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}3)\ (u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:-12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:\\\quad :(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=z_{\text{т}}:z_{\text{т}}-1:1\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{тетраэдри-}}\\{\text{ ческое,}}\end{matrix}}\end{matrix}}$	(37)
${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}4)\ (u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:\\\quad :108(u^{5}-u)^{4}=z_{\text{о}}:z_{\text{о}}-1:1\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{октаэдри-}}\\{\text{ ческое.}}\end{matrix}}\end{matrix}}$	(38)

Тот же текст в современной орфографии

Из уравнений (24), (27), (34) мы определим четыре искомых коэффициента:

$p,\ q,\ r,\ s.$

‎Итак, для приведения уравнения (22) к нормальному виду (21) необходимо решить одно нормальное уравнение (26) того же типа.

Решив уравнение (21), мы будем в состоянии найти корни уравнения (22): корни этих уравнений связаны между собой линейной зависимостью (23).

Следовательно, для решения уравнения общего вида (22) необходимо решить два нормальных уравнения того же типа (26) и (21).

Задача о решении уравнения общего вида приводится, таким образом, к задаче о решении нормального уравнения того же типа.

В следующих параграфах мы займемся вопросом о решении нормальных уравнений.

§ 31. Решение в радикалах уравнений: двупирамидиаго, тетраэдрического и октаэдрического.

Мы уже упоминали в главе IV, что уравнения: тетраэдрическое и октаэдрическое разрешимы в радикалах. Двупирамидное уравнение в нормальной форме разрешимо в радикалах совершенно элементарным способом.

Найдем эти решения.

Возьмем нормальные уравнения:

1) $\left({\frac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z_{\text{д}}:z_{\text{д}}-1:1$ двупирамидное,	(35)
2) $\left({\frac {u^{2}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {u^{2}-1}{2}}\right)^{2}:u^{2}=z_{\text{ч}}:z_{\text{ч}}-1:1$ четверичное,	(36)
${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}3)\ (u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:-12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:\\\quad :(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=z_{\text{т}}:z_{\text{т}}-1:1\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{тетраэдри-}}\\{\text{ ческое,}}\end{matrix}}\end{matrix}}$	(37)
${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}4)\ (u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:\\\quad :108(u^{5}-u)^{4}=z_{\text{о}}:z_{\text{о}}-1:1\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{октаэдри-}}\\{\text{ ческое.}}\end{matrix}}\end{matrix}}$	(38)